关于三维Navier-Stokes方程整体适定性一些研究

摘要

不可压Navier-Stokes方程刻画了具有粘性的不可压流体的运动规律.一个非常基本而又重要的公开问题是:给定三维不可压Navier-Stokes方程一个具有一定正则性的初值，能否在相应的函数空间中生成唯一的一个整体解.几十年来，分析与方程方面的很多专家都对这一问题进行过研究，然而截至目前也只能对具有某些特殊结构的初值或者小初值得到解的整体存在唯一性，而对一般的大初值却只能得到解的局部存在唯一性.本文便围绕三维Navier-Stokes方程整体解的存在性及唯一性进行研究.本文主要由以下四部分构成.
　　在第二章中，首先考虑三维各向异性Navier-Stokes方程，并证明对任意初值，只要粘性有一个方向充分大，这一大性依赖于初值的某些临界范数，则各向异性Navier-Stokes方程将具有唯一的整体光滑解.这一方法还可以拿来处理具有一个快变空间变量时，经典Navier-Stokes方程的适定性问题.特别地，构造了一类大初值u0，使得只要u0沿竖直方向是快变的且u30充分小，则从这些u0出发三维Navier-Stokes方程将有整体光滑解.
　　在第三章中，考虑只依赖于速度场单分量的正则性准则.考虑三维不可压Navier-Stokes方程，其中初始涡度场属于L3/2∩L2证明若相应的Fujita-Kato解在有限时刻T*处发生爆破，则对任意p∈]4,∞[，q1∈[1，2[，μ＞0，q2∈[2，(1/p+μ)-1[，κ∈]1，∞[，以及任意方向向量e，有v与e的内积(v(t)|e)R3的Lp（0,T*，L3p/p-2∩（Bμ+2/p+2/q1-1q1,κ）h（B1/q2-μq2,κ）v）范数等于无穷，这里所需要的空间导数的阶数可以是一个任意小的正数，但我们的方法似乎并不能将其完全降为0.
　　在后两章，将考虑轴对称Navier-Stokes方程.首先对某个临界空间中的初值证明了三维轴对称Navier-Stokes方程的局部适定性，以及小初值下的整体适定性.进一步，可以证明只要初始速度场u0满足‖ruθ0‖L∞充分小，则三维轴对称Navier-Stokes方程依然是整体适定的.这些将是第四章的内容.
　　在第五章中，作为上一章中所考虑的临界空间中的初值的一般化，将考虑有限测度初值.特别地，考虑当t→0时有ωθ(t)drdz→n∑i=1αiδxi，其中n是任意正整数，αi是某个正常数，δxi是在点xi=（ri，zi）∈Ω且ri＞0处的Dirac测度将要证明在满足一定自然限定下的轴对称解的唯一性，并且对该解给出精确的短时估计.

目录

声明

摘要

第1章 引言

1．1 不可压缩流体力学方程组

1．2 符号说明与函数空间简介

1．2．2 Littlewood-Paley理论与Besov空间

1．3 问题背景与主要结果

1．3．1 Navier-Stokes方程的一般解

1．3．2 Navier-Stokes方程的轴对称解

1．3．3 主要结果及其分布

第2章 三维Navier-Stokes方程在初始速度场具有一个快变空间变量时的整体适定性

2．1 引言

2．2 预备引理

2．3 先验估计

2．4 定理2．1．1及定理2．1．2的证明

2．5 三维Navier-Stokes方程具有一个快变空间变量的整体解

2．5．2 ‖ν?3u3(t)‖Hθ的估计

2．5．3 ‖u3(t)‖H1/2,0的估计

2．5．4 定理2．1．3的证明

第3章 三维Navier-Stokes方程关于速度场单分量的正则性准则

3．1 引言

3．2 预备引理

3．3 定理Theorem 3．1．1的证明思路

3．4 对ω的估计

3．5 对?3u3的估计

第4章 轴对称Navier-Stokes方程在初始速度场旋度部分充分小条件下的整体适应性

4．1 引言

4．2 预备引理

4．2．2 用ωθ/r控制ur/r

4．2．3 关于算子半群(S(t))t≥0的估计

4．3 方程(4．1 )在临界空间中解的局部存在唯一性

4．4 方程(4．1 )在初值正则性稍高于临界时的先验估计

4．5 方程(4．1 )在临界空间中解的整体存在唯一性

第5章 以测度Σnι=1αιδxι为初值的轴对称无旋Navier-Stokes方程解的唯一性

5．1 引言

5．2 解的分解

5．2．1 解在初始时刻t=0的迹

5．2．2 自相似变量

5．3 定理5．1．1的证明

5．3．1 短时渐近行为

5．3．2 唯一性的证明

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果