非均匀网格上的频率域有限差分地震波模拟

摘要

地震波的数值模拟是用于理解地震波在地下真实介质中的传播现象的重要工具，也是全波形反演和偏移成像的重要基础。相比于有限元法，伪谱法，谱元法等算法，有限差分法由于其计算简单效率高的优点成为了最受人们欢迎的数值算法。除了时间域的有限差分方法之外，频率域的有限差分方法以其独特的优点也越来越受到更多人的关注。和时间域有限差分相比，频率域有限差分有以下优点:1.不受稳定性条件约束;2.更易于实现地震波衰减;3.每个频率单独求解，便于实施并行加速。当我们处理依赖频率的物理问题时或者频带宽度有限时，使用频率域有限差分方法是一个合理的选择。
　　然而，频率域有限差分方法有一个明显的缺点:当处理大尺度的模型时，尤其是三维模型时，其对内存和时间的消耗是巨大的，难以承受的。和时间域有限差分方法不同，在频率域有限差分方法中，每一个单频波场都是通过求解大型线性方程组得到的。在求解方程组的过程中，需要对一个庞大的稀疏矩阵（通常称其为阻抗矩阵）进行操作。阻抗矩阵的维度由离散网格点的数目所决定，是影响计算效率的关键因素。为了减少内存和时间的需求，在数值模拟中使用的离散网格点数越少越好。非均匀网格是用于减少网格节点数，提升计算效率的一种常见的策略。最近这些年，很多关于非均匀网格的研究被陆续发表。大多数关于非均匀网格的研究聚焦在时间域的有限差分算子上，而频率域的有限差分算子很少被关注到。因此，本文致力于研究如何在非均匀网格上实现频率域有限差分声波模拟，提升频率域有限差分算法的效率。
　　在本文中，我们研究了如何在连续非均匀网格上实现二维频率域声波模拟。我们提出一种广义平均导数优化差分九点格式(GADOS)，用其在连续非均匀网格上实现了频率域声波模拟。我们将连续非均匀网格视为由许多个九点非均匀网格拼接而成的集合体。对于每一个九点网格，从大量的优化系数组成的“字典”中选取其对应的优化系数，以确保波在全空间传播时处处频散最小化。权重系数优化之后，即使一个波长内只有四个网格点，GADOS对于不同的网格间距比例的归一化相速度残差均小于土1％。使用GADOS方法在连续非均匀网格上进行模拟，在不影响精度的前提下，提高了计算效率。
　　由于在连续非均匀网格中，网格间距变化不够灵活，我们还研究了如何在不连续非均匀网格上实现二维频率域声波模拟。我们测试了几种不同的差分格式处理不连续网格界面处的鬼点，发现使用二阶差分格式便可以得到比较准确的模拟结果。接下来，我们将这种处理不连续界面处鬼点的方法推广到三维，实现了不连续网格上的三维频率域声波模拟。与均匀网格相比，使用不连续网格提高了计算效率。
　　为了更进一步地提升计算效率，我们实现了随频率和速度同时变化的网格上的频率域声波模拟。我们研究并对比了几种不同的震源加载方式，去处理震源点不与网格点重合的问题。与固定网格相比，在随频率和速度同时变化的网格上进行声波模拟，轻微地影响了计算的精度，显著的提升了计算的效率。

目录

声明

摘要

表格索引

插图索引

主要符号对照表

第一章 绪论

1．1 地震波数值模拟综述

1．1．1 基于射线理论的方法

1．1．2 基于积分形式的方法

1．1．3 基于微分形式的方法

1．2 有限差分法地震波数值模拟综述

1．2．1 时间域有限差分方法

1．2．2 频率域有限差分方法

1．3 本文的研究目的及内容安排

第二章 连续非均匀网格上二维频率域声波模拟

2．1 引言

2．2 广义平均导数优化差分格式

2．3 数值频散分析

2．4 准确性分析

2．5 边界条件

2．6 网格划分策略以及非均匀网格上的速度模型

2．6．1 网格划分策略

2．6．2 非均匀网格上的速度模型

2．7 数值算例

2．7．1 均匀速度模型

2．7．2 非均匀速度模型

2．7．3 具有大速度差异的速度模型

2．8 小结

第三章 不连续非均匀网格上的二维频率域声波模拟

3．1 引言

3．2 时间域有限差分中不连续网格的研究进展

3．3 频率域有限差分格式的选取

3．4 模型内部粗细网格界面处的处理方式

3．4．1 五点线性插值

3．4．2 五点差分格式

3．4．3 高阶差分格式

3．5 PML区域内部细网格的鬼点的处理

3．6 数值算例

3．6．1 1-2的不连续网格

3．6．2 1-2-4的不连续网格

3．6．3 计算效率的对比

3．7 小结

第四章 不连续非均匀网格上的三维频率域声波模拟

4．1 引言

4．2 频率域有限差分格式的选取

4．3 不连续网格界面处的处理

4．4 边界条件

4．5 数值算例

4．5．1 均匀模型

4．5．2 两层模型

4．5．3 计算效率的对比

4．6 小结

第五章 随频率和速度同时变化的网格上的频率域声波模拟

5．1 引言

5．2 非均匀网格上的频率域有限差分格式

5．3 随频率和速度同时变化的变网格策略

5．4 变网格下几种震源加载方式

5．5 数值算例

5．5．1 均匀速度模型

5．5．2 渐变速度模型

5．6 小结

6．1 结论

6．2 展望

参考文献

附录

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果