自由费米子和自由仲费米子自旋链的研究

摘要

本文从统计物理和凝聚态物理的相变理论和临界现象出发，研究了两种一维模型的物理性质。这些模型是横场中的量子伊辛模型和更一般的量子Z(N)模型。这样的量子自旋链是量子磁性的现实模型。自旋1/2(双态)伊辛模型的精确解和物理性质都是由自由费米子这一强大的概念来描述的，这在许多教科书中都有详细的论述。这个模型的一个非常有趣的N态一般化模型已经被发现，它与自由仲费米子有关。自由仲费米子是自由费米子的自然推广。本课题是第一个对自由仲费米子模型进行详细求解和研究的课题。就像自由仲费米子模型的一个特例量子伊辛模型一样，本文研究的结果将与统计和凝聚态物理的诸多主题相关。　　这个研究项目的核心是由R.J.Baxter于1989年发现的N态Z(N)量子自旋链。该模型具有开边界条件。该模型的能量本征谱最近被P.Fendley用自由仲费米子来描述。然而，没有计算R.J.Baxter自由仲费米子Z(N)量子自旋链的物理性质。此外，该模型没有精确解的形式，如同熟悉的量子伊辛链的解。仲费米子的概念在物理文献和数学文献中都有超过60年的历史，但是直到2014年才有关于自由仲费米子的物理实现。因此，从纯学术的角度来看，这个研究主题可能非常重要。而且更实际的原因是，最近人们开始从凝聚态物理的拓扑相和边缘模的角度，对仲费米子系统展开了研究。与目前物理上研究的大多数模型不同，自由仲费米子模型在状态N大于2的临界点处并不是共形不变的。然而，由于模型的手征性，该模型呈现出一种各向异性尺度。更重要的是，该模型是非厄米的，在真实基态上具有复数能量本征谱。因此，自由仲费米子模型将具有一些意想不到的性质。这类模型描述的是不保守的物理系统的动力学。厄米系统的一些常见性质，如体积热力学量对边界条件的不敏感性，在非厄米系统中可能失效。在一般情况下，非厄米系统是一个有前途的新的和相对未探索的物理研究方向。　　本研究首先是提供一个精确的解，其次是计算自由仲费米子的Baxter Z(N)模型的物理性质。这包括计算有限和无限尺寸系统的能谱行为。用这种方法可以得到关键的性质，如描述比热和相关长度行为的临界指数。本课题还讨论了该模型的本征态，从本征态可以得到其他物理量，如N=2时的关联函数。以及当N>2时，通过应用Hellmann-Feynman定理得到一般N值相应的某些基态期望值。　　在第一章综述了仲费米子的研究现状、意义和起源。在第二章，阐述了从经典相变到量子相变的基本概念和差异，以及临界现象的描述。在第三章中，我们介绍了自由费米子的概念和一个具体的XYh模型，其中包括一个特殊情况下的量子伊辛模型，并展示了如何将这样一个相互作用的系统转化为一个由自由费米子描述的系统。我们还回顾了量子伊辛链是更一般的Z(N)自由仲费米子模型的一个特例，我们使用自由费米化方法获得了量子伊辛链的一些物理性质。第四章给出了自由仲费米子Z(N)链能谱的精确解。然后用这个解对模型的各种物理量和临界指数求出精确的结果。精确的结果包括一个非常紧凑的结果，即用超几何函数表示的单位格点基态能量。在第五章中，我们概述了研究开边界条件下量子伊辛链自旋关联的形式。这些关联包括最近邻自旋关联、端点自旋关联和表面磁化。发现了端点自旋关联的一个新的精确结果。我们还分析了自由仲费米子Z(N)链模型开边界条件对应的内部某些最近邻物理量的期望值和“端点关联”的数值结果。获得了一些精确结果并观察到一些有趣的新行为。第六章是本文的结语，对全文进行了简要的总结，并对今后的研究方向进行了展望。

目录

目 录

1 绪 论

1.1.1 问题的提出

1.1.2 研究的意义

1.2 自由仲费米子理论的研究现状

1.3.1 研究目的

1.3.2 本文研究主要内容

2 量子相变和临界现象

2.1 热相变

2.2 临界现象

2.3 量子相变

2.3.1 量子和经典的对应

2.3.2 量子临界点临界指数和标度变换

2.4 本章小结

3 物理系统的自由费米子描述

3.1 自由费米子

3.2 XYh 模型的自由费米子转化

3.3 量子伊辛链模型

3.3.1 量子伊辛链模型的求解

3.3.2 关联函数

3.3.3 临界点的对称性

3.4 本章小结

4 自由仲费米子链的能谱和临界指数

4.1 自由仲费米子模型

4.2 非厄米哈密顿量体系

4.3 Euler–Maclaurin 公式

4.4 自由仲费米子链的能谱

4.4.1 λ=1时的能谱

4.4.2 λ=1时的能谱

4.4.3 系统临界指数

4.5 本章小结

5 自由仲费米子链的若干基态期望值

5.1 自由仲费米链模型N=2的自旋关联函数

5.2 自由仲费米链模型N=2的精确结果

5.2.1 端点自旋关联函数

5.2.2 最近邻关联

5.2.3 表面磁化强度

5.3 自由仲费米子Z(N)链任意N值的精确解

5.4 密度矩阵重整化群方法

5.4.1 重整化的主要方法

5.4.2 约化密度矩阵

5.4.3 密度矩阵重整化群方法计算过程

5.4.4 观测量的计算

5.5 任意N值的数值分析

5.6 本章小结

6 结论与展望

6.1 本文的主要结论

6.2 后续研究工作的展望

参考文献

附 录

A. 作者在攻读博士学位期间发表的论文目录

B. 作者在攻读博士学位期间参加的科研项目

C. 作者在攻读博士学位期间参加的学术活动

D. 学位论文数据集

致 谢