环形液池内热毛细对流线性稳定性分析

摘要

当流体自由表面的温度分布不均匀时，不平衡的表面张力就会驱动流体运动，形成热毛细对流。热毛细对流在许多工业应用中广泛存在，例如在提拉法晶体生长中，热毛细对流失稳对晶体生长的品质有着重要影响。为提高单晶生长的品质，有必要对热毛细对流失稳的临界参数以及失稳机制进行深入地研究。此外，热毛细对流中包含了丰富的非线性动力学现象，对其不稳定性的研究有助于促进分叉理论的发展。为此，本文以自主发展的高精度谱元方法为基础，通过线性稳定性分析系统地研究了普朗特数(Pr)、高宽比、体积比和旋转等因素对环形液池内热毛细对流的不稳定性及其失稳机制的影响。本文的主要研究内容和结果如下：　　对于静止的内壁加热环形液池，研究了Pr、高宽比和体积比对热毛细对流的影响。根据普朗特数的不同，一共发现了5种类型的失稳。当Pr较小时流动不稳定性为由惯性效应引起的水动力学失稳，当Pr较大时不稳定性则是由热毛细效应引起的热流体波失稳。对于中间的Pr范围，上述两种机制会共存并相互竞争，使得失稳机制更加复杂，并可能使流动出现多次失稳现象。　　随着高宽比的增加，热毛细对流的稳定性和临界失稳波数呈减小趋势，且流动不稳定性会从振荡失稳转变为静态失稳。对于小Pr数流体(Pr=0.011)，不同高宽比下的失稳均属于惯性效应引起；对于中等Pr数流体(Pr=1.4)，失稳主要由热毛细效应引起，但是惯性效应会随着高宽比的增加而增强。　　对于小Pr数流体热毛细对流，随着体积比的增加，流动稳定性先减小后增加，最后再减小；而失稳的临界波数和振荡频率则单调减小。不同体积比下的失稳本质上都属于惯性效应。　　研究了旋转对内壁加热环形液池内中等Pr数流体热毛细对流的影响。当液池转速较小时，流动稳定性随转速先减小后增加；而当转速较大时，稳定性随转速单调减小。特别地，在一定的中间转速范围内，基态流非常稳定，在本文计算的参数范围内没有发现流动不稳定性。旋转通过影响基态流的流动结构来影响失稳机制，但是本身并不会为流动失稳提供大量额外的能量。　　研究了液层厚度和旋转对外壁加热环形液池内中等Pr数流体浮力-热毛细对流的影响。　　结果：表明，浮力-热毛细对流比纯热毛细对流更稳定，且浮力对热毛细对流的影响随液层厚度的增加而增加。弱的旋转使流动稳定性降低，强的旋转则可提高流动稳定性。流动不稳定性主要由热毛细效应引起，旋转本身不会为失稳提供大量额外的能量。　　研究了晶体或坩埚旋转对提拉法结构浅液池内小Pr数流体热毛细对流的影响。对于坩埚旋转，当转速较小时，流动稳定性随转速的增加先减小后增加，失稳机制为基态热毛细力造成的径向剪切失稳；当转速较大时，流动稳定性变化范围较小，失稳机制为旋转引起的周向剪切失稳。特别地，在一定的转速范围内，热毛细力和旋转的相互竞争和抑制会使得流动出现多次失稳现象。对于晶体旋转，当转速较小时，流动稳定性随转速增加先减小后增加，失稳后振荡流的传播方向与晶体的旋转方向相反；当转速较大时，流动稳定性随转速的增加而减小，失稳后振荡流的传播方向与晶体的旋转方向相同。由于晶体旋转对流场的影响范围较小，因此失稳机制始终为基态热毛细力引起的径向剪切失稳。

目录

符号表

1 绪 论

1.1 引言

1.2 国内外研究现状

1.2.1 普朗特数影响热毛细对流不稳定性的研究现状

1.2.2 高宽比影响热毛细对流不稳定性的研究现状

1.2.3 热毛细对流不稳定性的体积效应研究现状

1.2.4 旋转影响热毛细对流不稳定性的研究现状

1.3 本文主要研究内容及创新点

1.3.1 本文主要研究内容

1.3.2 本文的主要创新点

2 谱元方法基础理论

2.1 引言

2.2 加权残值法

2.3 正交函数系

2.4 Legendre多项式及其性质

2.5 Gauss积分公式

2.6 Legendre配置点

2.7 插值与离散Legendre变换

2.8 函数的Legendre多项式展开与物理空间中的微分

2.9 本章小结

3 谱元方法求解轴对称柱坐标系下Navier-Stokes方程

3.1 引言

3.2 时间分裂法求解非定常Navier-Stokes方程

3.2.1 时间分裂法的实施流程

3.2.2 谱元方法求解轴对称柱坐标系下Possion 型方程

3.3 基于Picard迭代的PN-PN-2法求解定常Navier-Stokes方程

3.4 边界条件的引入方式

3.5 数值算例

3.6 本章小结

4 内壁加热环形液池内热毛细对流不稳定性

4.1 引言

4.2 普朗特数对环形液池内热毛细对流不稳定性及失稳机制的影响

4.2.1 物理模型与基本方程

4.2.2 数值结果与分析

4.3 高宽比对环形液池内热毛细对流不稳定性的影响

4.3.1 计算条件

4.3.2 Pr=0.011失稳临界条件与失稳机制

4.3.3 Pr=1.4失稳临界条件与失稳机制

4.4 环形液池内热毛细对流不稳定性的体积效应

4.4.1 计算条件

4.4.2 确定自由表面形状

4.4.3 失稳临界条件与失稳机制

4.5 本章小结

5 旋转对环形液池内热毛细对流不稳定性的影响

5.1 引言

5.2 旋转对内壁加热环形液池内中等普朗特数流体热毛细对流不稳定性的影响

5.2.1 物理模型与基本方程

5.2.2 流动失稳的临界参数

5.2.3 失稳机制

5.3 旋转对外壁加热环形液池内中等普朗特数流体浮力-热毛细对流不稳定性的影响

5.3.1 物理模型与基本方程

5.3.2 对比不同深度下热毛细对流与浮力-热毛细对流失稳的临界Ma

5.3.3 旋转对流动不稳定性的影响

5.3.4 失稳类型与失稳机制

5.4 旋转对提拉法结构浅液池内硅熔体热毛细对流不稳定性的影响

5.4.1 物理模型与基本方程

5.4.2 程序验证

5.4.3 坩埚旋转的影响

5.4.4 晶体旋转的影响

5.5 本章小结

6 结论与展望

6.1 本文主要研究结论

6.2 不足与展望

参考文献

附 录

致谢