插值小波在数值计算中的应用

摘要

本文回顾了插值小波在数值计算中的应用，其内容主要包括插值小波的偏微分方程数值解的一般算法和使用插值小波解积分方程的算法。 小波基方法的基本思想是将函数在小波基下展开，对方程离散化再求解。由于小波函数在时域和频域上都具有很好的局域性，因此特别适合逼近那些具有奇点或局部变化十分剧烈的函数。与传统的数值方法相比，小波方法可以产生自适应网格：即仅在方程的解变化剧烈的区域实现高分辨率。 本文在前人使用有理化Haar小波方法解决第二类Fredholm积分方程问题的基础上，提出了一种新的方法。通过插值小波变换将积分方程转化成线性方程组。与传统的方法，如Nystrom方法相比，因为插值小波具有紧支集，所以转化后的矩阵是一个稀疏矩阵，这使得计算量得到减少。与有理化的Haar小波相比，插值小波具有更好的连续性，因此更适合逼近光滑函数：此外，插值小波具有的插值特性，也使得函数的采样变得更为简单。数值算例表明，该方法具有较高的精度。

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致谢

第一章绪论

1.1小波分析的起源与发展

1.2小波在数值计算中的应用

1.3本文章节安排

第二章小波分析基本理论

2.1连续小波变换

2.2多分辨分析和Mallat算法

2.3双正交小波

2.4双正交小波的提升

2.5插值小波

第三章非线性逼近和自适应网格

3.1非线性逼近

3.2小波自适应网络

第四章插值小波解偏微分方程

4.1插值小波的提升

4.2数值方法

4.3数值例子

第五章插值小波解第二类Fredholm积分方程

5.1研究背景

5.2函数逼近

5.3乘积矩阵积分的计算

5.4第二类Fredholm积分方程的数值解法

5.5数值例子

第六章总结与展望

6.1总结

6.2展望

参考文献

攻读硕士学位期间已发表或待发表论文