基于Bézier基的曲线和曲面构造以及有理插值的研究

摘要

Bézier曲线和曲面的构造方法是计算机辅助几何设计中有效的设计方法之一。在各个行业的产品零件设计中，许多自由曲面是通过自由曲线来构造的。对于自由曲线的设计，设计人员希望采用直观的具有明显几何意义的操作，使得设计的曲线能够逼近曲线的形状。如果采用插值法，曲线的形状不但受到曲线上型值点的约束，而且受到边界条件的影响。Bézier方法改善了上述设计方法的不足，使用户能够方便地实现曲线形状的修改。在国际CAD软件享有盛名的CATIA系统，也广泛采用了Bézier方法。 本文对Bézier曲线的控制多边形的构造进行了研究，并给出了对称型Newton-Thiele型混合插值算法，在第一章回顾了曲线和曲面造型的历史以及Bézier基的形成和发展。 第二章重点讲述了Bézier曲线和曲面，主要包括：Bézier曲线的定义和性质、Bézier曲线的几何作图法、Bézier曲面以及Bézier曲线曲面的应用。 第三章根据Narin和张仁江、王国璟的研究成果，重新构造了Bézier曲线的拟控制多边形，并给出相关的边界结论。 第四章给出了H-Bézier基和曲线定义和性质，以及利用H-Bézier曲线精确表示部分曲线。 第五章首先简单介绍了多项式插值的相关概念，结合Newton插值多项式与Thiele型连分式插值给出了对称型Newton-Thiele型混合插值算法。

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致谢

第一章绪论

1.1曲线/曲面造型的历史回顾

1.2 Bézier基的形成和发展

1.3本文研究的主要内容

第二章Bézier曲线及曲面

2.1 Bézier曲线的定义与性质

2.1.1 Bézier曲线的构造

2.1.2 Bernstein基函数的性质

2.1.3 Bézier曲线的的性质

2.2 Bézier曲线的几何作图法

2.2.1 Bézier曲线的几何作图法

2.2.2 Bézier曲线的递归分割算法

2.3 Bézier曲面的性质

2.4 Bézier曲线曲面应用

第三章拟控制多边形的新的构造方法

3.1关于Bézier曲线的控制多边形

3.2拟控制多边形的定义及构造

3.3构造拟控制多边形的相关引理

3.4关于拟控制多边形的主要结论

第四章H-Bézier曲线及曲面

4.1 H-Bézier基的定义和性质

4.1.1 H-Bézier初始基的构造

4.1.2 H-Bézier定义及性质

4.1.3 H-Bézier基的性质

4.2 H-Bézier曲线的定义及性质

4.2.1 H-Bézier曲线的定义

4.2.2 H-Bézier曲线的性质

4.3 H-Bézier曲线精确表示的实例

4.4 H-Bézier曲面的定义及性质

4.5结论

第五章对称型Newton-Thiele型混合插值

5.1多项式插值

5.2对称型Newton-Thiele型混合插值算法

5.3对称型Newton-Thiele型混合插值的特征定理及误差估计

5.4相关数值实例

5.5小结

第六章小结以及今后工作的展望

6.1全文小结

6.2展望

参考文献

硕士期间发表和完成的论文