CAGD中基于Bézier方法的曲线曲面表示与逼近

摘要

计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，简称CAGE))是随着航空、造船、机械设计和制造等现代工业的蓬勃发展与计算机的出现而发生与发展起来的一门新兴的交叉学科，曲线曲面的表示和逼近是计算机辅助几何设计的重要研究内容。Bezier曲线曲面是CAD/CAM系统中广泛使用的造型工具，任意形状曲线曲面的Bezier表示与逼近在CAGD中有着重要的应用价值。本文针对该问题展开了较为深入的研究，主要的研究工作及成果如下：
　　 ●关于曲线曲面的表示与形状修改
　　 曲线曲面的表示与形状修改给设计人员提供了丰富的几何造型接口，方便设计人员对曲线曲面的形状进行人工交互设计，是计算机辅助几何设计中的一个重要研究方向。为了在几何造型中更加灵活地调控曲线曲面的形状，提出三种新的带多形状参数的造型方法。
　　 (1)构造了一种带多形状参数的n+1次多项式调配函数，n次Bernstein基函数是它的特例。利用给出的调配函数定义了一类形状可调的n+1次广义Bezier曲线曲面，并研究了它们的性质。对给定的控制多边形，可以通过改变形状参数的值整体或局部地调控曲线的形状。
　　 (2)定义了一类带多形状参数的n次多项式基函数。同次Bernstein基函数是该基函数的特例，且二者具有类似的几何性质。利用该基函数构造了带形状参数的多项式参数曲线曲面，它们分别具有同次Bezier曲线曲面的形状特点。通过改变形状参数的取值可以整体或局部调控曲线曲面的形状。利用该多项式基函数与Bernstein基的转换公式，可以将带形状参数的多项式参数曲线表示为同次的Bezier形式，因而更适合于外形设计系统。
　　 (3)带形状参数的曲线可以用张量积方法推广到张量积曲面，而带形状参数的非张量积曲面难以用类似的方法推广得到。本文提出了带三个形状参数的三次Bernstein多项式，它们是三角域上三次Bernstein基的扩展。由该基函数构造的带形状参数的三角Bezier曲面是传统三次三角Bezier曲面的推广。由于含有可调的形状参数，该曲面除了具有和传统三次三角Bezier曲面类似的性质外，在控制顶点不变的情况下可以灵活调控曲面的形状，在形状修改与变形中具有更大的灵活性。
　　 ●基于多项式因子的曲线曲面自由变形方法
　　 曲线曲面的变形可视为三维空间R3到自身的映射，变形方法广泛应用于几何造型和计算机动画等领域。在计算几何领域，NURBS的优点为自由形状提供了近乎完美的数学描述方法。然而NURBS形状修改的交互技术(如节点向量及权因子的选取，控制点的移动)具有一定的局限性。因此，人们为了得到更加复杂的形状不得不寻求其它的形状修改或空间变形技术，其中有些方法和技术已成为某些商业CAD/CAM软件的核心。现有的变形方法在某些方面仍然有改进的空间。如变形区域的精确控制，局部变形时变形区域与非变形区域的连续拼接等。因此，在计算机图形学领域寻求新的、高效的和直观的变形方法仍然是一项有意义的研究工作。我们研究了基于伸缩函数的参数曲线曲面变形技术，与传统方法不同的是，本文方法的主要思想是用由伸缩函数构成的算子矩阵作用于曲线曲面的方程，使曲线曲面发生形变。除了隐式曲线曲面外，该方法适用于任意形式的曲线曲面。变形操作，简单易行。实例表明，该方法计算简单、易于控制，无需任何辅助工具，进一步提升了几何设计系统的功能。
　　 ●关于三角Bezier曲面的保凸条件
　　 在CAD和CAGD中，曲面的凸性是一个具有重要意义的研究课题。为了简化B-网弱凸的三个条件，本文改进了Bezier三角曲面的一组保凸条件，并在此基础上，将条件转化为一个无穷保凸区域。在该区域内，利用分段线性插值方法得到Bezier三角曲面保凸的线性充分条件，构造了判断Bezier三角曲面凸性的一组线性充分条件。该条件比B-网弱凸的条件强，但比现有线性保凸条件弱，并给出了其几何解释。
　　 ●关于圆弧的四次Bezier逼近
　　 参数曲线曲面的最优逼近是CAGD中最重要的研究课题之一。由于CAD/CAM造型系统不能处理圆弧的隐式方程以及用三角函数所表示的参数方程，人们只能采用参数多项式来逼近它们。为了更有效的逼近圆弧，本文提出三种用四次Bezier曲线逼近圆弧的方法。利用转换误差函数给出了圆弧与四次逼近曲线间Hausdorff距离的显示形式。这些方法的逼近阶都是8，且误差比现有的四次Bezier逼近方法的误差更小。通过等分圆弧可生成圆弧的曲率连续的样条逼近。
　　 ●构造与给定多边形相切的样条曲线
　　 连锁轮由两个固定的圆形轮驱动的滑轮组成，两轮之间有定长的传送带。对于给定的非常数速率，求链轮驱动器的数学表示导出了一个非线性函数方程组，精确的求解方程组似乎毫无希望，但可以用动力学方法将方程组转化为一组切线系(即一平面凸多边形)，然后再构造与每边相切的样条曲线，即为所求的逼近曲线。本文利用组合Bezier曲线C1和C2连续的几何关系，构造了与给定多边形相切的分段二次、三次和四次可调Bezier闭样条曲线。Bezier曲线段的所有控制点由切线多边形的顶点直接计算产生。构造的样条曲线整体C1和C2连续，且对切线多边形是保形的。通过调整形状参数的取值可以灵活调控样条曲线的形状。推广该方法，给出了与给定多边形相切的分段四次可调Ball闭曲线生成算法。实例表明本文方法计算简单、控制灵活，方便有效，更能够适合CAGD系统的造型要求。