环Fq+uFq+…+uk-1Fq上常循环码的研究

摘要

有限域上的编码理论不仅已经比较成熟，而且在实践中也得到了广泛的应用。1994年Hammons等人发现某些高效的二元非线性码可以看作是Z4环上的Gray像，使得环上码的研究成为编码理论学家研究的一个热点。特别地，有限环上常循环码的研究成为人们研究的重点之一。本文主要是研究环Fq+uFq+…+uk-1Fq上任意长的一类常循环码的结构及其性质。主要内容如下：
　　1、给出了环R=Fq+uFq+…+uk-1Fq的Galois扩环上的长为Ps的(1+uβ)-常循环码的结构，并用这些码构造R上长为N=psn的(1+uβ)-常循环码，其中(n，p)=1。确定了R上给定长的不同的(1+uβ)-常循环码的个数和这样的码所含码字的个数。得到了环R上的(1+uβ)-常循环对偶码的结构。
　　2、研究了环Fq+uFq+…+uk-1Fq上的(1+λu)-常循环MDS码，通过Fpm上长为n=pm-1的RS码得到环Fq+uFq+…+uk-1Fq上的一类(1+λu)-常循环MDS码。再由Fpm上的扩展RS码得到此环上几类长为n=pm+1的(1+λu)-常循环MDS码。并研究了当k=2时的几类长为n=pm-1和n=pm+1的循环MDS码。
　　3、通过Fpm上剩余码和挠积码得到环Fpm+uFpm上任意长(α+uβ)-常循环码和λ-常循环码的唯一生成元集，并得到这些常循环码的对偶码的结构。

目录

文摘

英文文摘

致谢

第一章 绪论

1.1 纠错码的介绍

1.2 本文的主要内容

第二章 预备知识

第三章 环Fq+uFq+

3.1(1+uβ)-常循环码

3.1.1 环R的Galois扩环上的长为ps的(1+uβ)-常循环码

3.1.2 离散傅里叶变换

3.1.3 环R上长为psn的(1+uβ)-常循环码

3.2(1+uβ)-常循环对偶码

3.2.1 环R'N中(1+uβ')-常循环码

3.2.2(1+uβ')-常循环对偶码的结构

第四章 环Fq+uFq+

4.1 基本概念

4.2(1+λu)-常循环MDS码

4.3 环Fpm+uFpm上的循环MDS码

4.4 例子

第五章 环Fpm+uFpm上的常循环码

5.1 基本概念

5.2(α+uβ)-常循环码

5.3 λ-常循环码

5.4 例子

第六章 总结及下一步的计划

参考文献

攻读硕士期间研究成果