无界区域上基于自然边界归化的区域分解算法

摘要

科学和工程中的许多问题都可以归结为偏微分方程的求解问题，通常这些问题的指定区域都是没有边界的，于是研究无界区域上的求解算法就显得尤为重要。在这些求解算法中比较突出并且用途广泛而且较新的就要数区域分解算法，但是对于求解无界区域上边值问题，由于该类问题的特殊性和存在的难度使得我们仅仅依靠区域分解算法是无法得到满意的结果的。于是，人们借助于自然边界归化原理，尝试加入人工边界，通过引入典型的人工边界，将原无界区域分解成为一个很小的有界区域和一个带典型边界的无界区域，于是在该有界区域上可用标准的有限元方法求解，在无界区域上可应用自然边界归化原理直接求解。这样就减少了求解规模并且可以进行并行计算。
　　本文基于自然边界归化原理，以二维双调和外问题为例，提出研究了带典型人工边界的非重叠型区域分解算法和并行的重叠型区域分解算法。对于非重叠型区域分解算法，构造其算法并讨论相应的离散化问题的收敛性，证明算法收敛速度与有限元网格参数无关，适当选取松弛因子，算法是几何收敛的，最后总结了该种算法的一些特点，说明用该方法求解无界区域问题是十分有效的。对于并行的重叠型区域分解算法，构造了算法并讨论了其收敛性，然后给出了该种算法的离散化形式及其有限元处理方法，最后总结了该算法的一些优越性，说明对求解大型问题该种方法非常有效。

目录

文摘

英文文摘

致谢

第一章 绪论

1.1 区域分解算法概论

1.2 自然边界归化原理概论

1.3 预备基础知识

1.4 本文主要内容

第二章 双调和方程边值问题

2.1 引言

2.2 自然边界归化原理的双调和边值问题的应用

2.3 圆外部区域的poisson积分公式及自然积分方程

2.4 圆外区域自然积分方程的直接研究

第三章 基于自然边界归化的无界区域上的非重叠型区域分解算法

3.1 引言

3.2 D-N算法

3.3 D-N算法离散化及其迭代

3.4 离散D-N算法的收敛性

第四章 基于自然边界归化的无界区域上的重叠型区域分解算法

4.1 引言

4.2 并行Schwarz算法

4.3 并行Schwarz算法的收敛性分析

4.4 并行Schwarz算法的离散化及有限元处理

第五章 总结与展望

参考文献

附录：攻读硕士学位期间发表的论文