不重叠区域分解的新算法

摘要

区域分解算法是近年来发展起来的求解PDE数值解的新方向,其有诸多优点,如灵活性、高度并行、适合大规模问题等等。本论文作者提出了不重叠区域分解算法的三种新方法。
　　首先提出差额算法,其实质是一种简化的D-N交替法。该算法可以同时解Poisson方程的Dirichlet问题和Neumann边值问题。方法简化了,却可同时求解不同边值问题。这里仅以Poisson方程为例。差额算法的思想并不局限于此。文中得出了与Richardson迭代法等价的具有最优性质的松弛因子n及真解u的表达式。其数值例子与算法的理论相符。
　　其次对Poisson方程外问题,构造了具有平方加速效果的Schwarz交替法。在求解PDE数值解时,细分网格是常见的提高收敛精度的方法,但计算量大大增加。本文中的方法是离散平均 Sobolev空间中的函数,预处理之后再进行迭代,这样可以使新算法与原算法相比具有平方收敛性。典型域上的数值例子以及图表表明新算法效果更好。
　　最后为实现最优Schwarz交替法能够自适应地选取边界传输条件上的线性算子,在交界处切线方向上选取算子时引入松弛因子1、2,恰当选取松弛因子可以加速收敛,证明了线性和非线性条件下加速收敛的条件。数值算例也表明相同结果。

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表格清单

第一章 绪 论

1.1 引言

1.2 Sobolev范数和相关的空间

1.3发展历史

第二章 求解相同PDE不同边值问题的差额算法

2.1问题介绍

2.2算法构造预备

2.3 差额型的D-N交替算法

2.4 真解u和松弛因子?n的表示

2.5 数值算例

2.6 本章结论

第三章 平方加速迭代方法

3.1 问题引入

3.2离散算法的实现及其误差分析

第四章 不重叠最优Schwarz交替法松弛因子的讨论

4.1 松弛因子引入

4.2 线性和非线性讨论

4.3 数值例子及图例

4.4 本章结论

第五章 总结与展望

5.1 发展情况及还可以继续解决的问题

5.2 方程离散正则化分析

5.3 正则化方法构造及误差估计

参考文献

攻读硕士学位期间的学术活动及成果情况