有限环上码的性质及其Gray映射研究

摘要

近年来，随着有限域上的编码理论的重要突破，有限环上关于码的性质的研究引起编码爱好者极大的兴趣。本文构造了有限链环Fq+uFq+…+uk-1Fq上的广义Gray映射，讨论了其上长为n的线性码关于齐次距离的覆盖半径;研究了有限链环Fq+uFq+…+uk-1Fq上循环码以及其对偶码的周期分布。此外还对有限非链环F2+uF+vF2+uvF2上循环码进行了研究。具体内容如下:
　　(1)给出了环Fq+uFq+u2Fq+…uk-1Fq上的齐次重量的概念，利用所构造的广义Gray映射找到了研究环上齐次距离覆盖半径的方法。给出并证明了此环上线性码的相关性质，得到了几种关于齐次重量的覆盖半径的上下界。
　　(2)研究了有限链环Fq+uFq+…+uk-1Fq上循环码的周期的分布，并给出了周期为r时的一个充要条件。利用此环上循环码的生成多项式得到了其上循环码的周期分布。进一步，利用Fq+uFq+…+uk-1Fq上循环码与对偶码之间的关系给出了此环上单根循环码及其对偶码的准确计数公式。
　　(3)给出了有限非链环F2+uF2+vF2+uvF2上循环码的生成多项式，定义了环上的Lee距离，利用所构造的Gray映射得到其上循环码及其对偶码的相关性质，最终得到Gray二元象的最小Hamming重量。

目录

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致谢

摘要

第一章 绪论

1．1 纠错码的研究背景与进展

1．1．1 有限环上码的覆盖半径的研究进展

1．1．2 有限环上码的周期分布的研究进展

1．1．3 有限非链环的研究进展

1．2 本文的研究内容

第二章 基础知识

2．1 有限域上码的基础知识

2．2 有限环上码的基础知识

第三章 环F2+uF2上码的性质

3．1 环F2+uF2上码的基本概念

3．2 环F2+uF2上的线性码覆盖半径

3．3 环F2+uF2以上的循环码周期分布

第四章 环Fq+uFq+?+uk-1Fq上线性码的覆盖半径

4．1 环Fq+uFq+?+uk-1Fq上线性码的结构

4．2 Fq+uFq+u2Fq+?+uk-1Fq上的广义Gray映射

4．3 码的覆盖半径

第五章 环Fq+uFq+u2Fq+?+uk-1Fq上循环码的周期分布

5．1 环Fq+uFq+u2Fq+?+uk-1Fq上循环码

5．2 环Fq+uFq+u2Fq+?+uk-1Fq循环码的周期分布

5．3 环Fq+uFq+u2Fq+?+uk-1Fq上循环码的对偶码的周期分布

5．4 应用举例

第六章 环F2+uF2+vF2+uvF2上的循环码及其Gray映射

6．1 环F2+uF2+vF2+uvF2上线性码的结构

6．2 环F2+uF2+vF2+uvF2上的循环码

6．3 环F2+uF2+vF2+uvF2上的Gray映射

6．4 应用举例

第七章 总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间的研究成果