Ramanujan常数的级数展开、性质及其应用

摘要

众所周知，Gauss超几何函数F(a,b;c;Γ)在特殊函数中具有极为重要的地位，它与许多其他类型的特殊函数相关，其性质和Γ-函数，ψ-函数以及Beta函数B(a，b)密切相关。Ramanujan常数R(a)不仅在零平衡的Gauss超几何函数F(a，1-a;1;x)的研究中起着至关重要的作用，在特殊函数的一些其它领域也是必不可少的。例如，在对广义椭圆积分Ka(r)和εa(r)，广义模方程的解ψK(a，r)以及由ψK(a，r)定义的λ（a，K）和ηK(a，t)等特殊函数分析性质的研究中经常用到Ramanujan常数R(a)。但R(a)的已知性质尚不能满足应用中的需要，而揭示R(a)性质的主要障碍之一是缺乏行之有效的研究工具。不少研究工作表明，R(a)的级数展开是重要而有效的研究工具。本文的主要目的是建立Ramanujan常数R(a)的不同类型级数、进一步揭示Ramanujan常数与Beta函数的紧密关系，并通过研究R(a)与一些初等函数组合的性质，获得R(a)的一些重要性质。　　本文由以下三章构成:　　第一章，主要介绍了本文的研究背景，并引入本文所涉及的一些概念、记号和部分已有结果。　　第二章，我们首先建立了Ramanuj an常数R(a)、B(a)=B（a，1-a）的不同类型的级数展开式和R(a)-B(a)的幂级数展开式，并运用这些结果得出了Riemanzeta函数满足的一些等式。　　第三章，通过研究Ramanujan常数R(a)与某些初等函数组合的分析性质，获得了R(a)的一些渐近精确的不等式，并改进了某些已有结果。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 Γ-函数、φ-函数、Beta函数及Gauss超几何函数

1．2 Ramanujan常数R(a)和Ramanujan模方程

1．3 两个常用的单调性判定准则

第2章 R(a)和B(a)的级数展开

2．1 Ramanujan常数R(a)的级数展开

2．2 Beta函数B(a)的级数展开

2．3 R(a)-B(a)的幂级数展开

第3章 Ramanujan常数R(a)的单调性、凹凸性

3．1 R(a)与初等函数组合的一些分析性质

3．2 R(a)与B(a)组合的分析性质

参考文献

致谢

作者在攻读学位期间的研究成果