两类随机Runge-Kutta方法的线性稳定性分析

摘要

随机微分方程的解析解一般难以求得,因此数值方法成为研究随机微分方程解的行为的主要工具之一,其中龙格库塔（Runge-Kutta）方法是求解随机微分方程的重要方法之一.另一方面,显格式的数值稳定性虽不如隐格式,但显格式具有更高的计算效率.其中,有一类基于Chebyshev多项式构造的显式Runge-Kutta方法具有良好的稳定性性质,但在某些位置该方法稳定域的宽度会缩小为零,而基于Legendre多项式构造的显式Runge-Kutta方法不存在这样的问题.这两种方法的数值稳定区域都随着Runge-Kutta方法阶段数的增加而扩大.　　针对随机微分方程,本文首先考虑显式随机Runge-Kutta Legendre方法,构造收敛阶分别为1/2阶与1阶的格式,并且分析了这些方法的线性均方稳定性,得到均方稳定性判别条件,并通过数值例子验证了我们的理论结果.然后针对随机时滞微分方程,我们运用离散半秧收敛定理分析了显式随机Runge-Kutta Chebyshev方法的几乎处处指数稳定性.

目录

第一章 引言

1.1 背景

1.2 结构

第二章 随机Runge-Kutta Legendre方法及其稳定性分析

2.1 预备知识

2.2 随机Runge-Kutta Legendre方法

2.3 随机Runge-Kutta Legendre方法的收敛性

2.4 随机Runge-Kutta Legendre方法的稳定性分析

2.5 数值例子

第三章 随机时滞微分方程的S-ROCK方法

3.1 预备知识

3.2 S-ROCK方法及初步结果

3.3 数值解的几乎处处渐近指数稳定性

参考文献

在学期间的研究成果及发表的论文

致谢