一类时间分数阶热传导方程源项反演的积分方程方法

摘要

反问题研究在医学方面的医学成像、自然灾害的难题地震波的探测、天气预报、衣服面料纺织等领域都有着广泛的应用.分数阶热传导方程一般可以用来描述科学技术一些领域的反常扩散现象. 本文主要研究一类时间分数阶热传导方程的源项反演问题, 此时是通过非局部观测数据来反演方程右端的一个与时间相关的未知源项，然后建立这个反问题的条件稳定性，从而可以实现源项的稳定化重建，最后用数值算例来说明方法的有效性. 本文的研究成果如下:　　第一章介绍了时间分数阶热传导反问题的研究意义、研究动态以及本文的主要研究内容.　　第二章主要研究一般区域上具有Dirichlet边界条件的时间分数阶热传导方程源项反演问题，该反问题是通过非局部观测数据来重建热传导方程右端一个与时间相关的未知源项. 通过研究正问题的解，首先将该问题的反演就可以转化为不适定的第一类积分方程；然后经过两边同时取分数阶的导数后，就可以再将研究的第一类积分方程转化为第二类Volterra积分方程，通过探讨从而建立起该反问题的条件稳定性结果；通过对数据进行磨光正则化处理，最终稳定地重建出源项.　　第三章考虑了一类具有Neumann边界的时间分数阶扩散方程源项反演问题. 这里是从古典解的意义上来研究源项反演问题的, 且是在f(x)∈C2(0,l)和权函数μ(x)∈L2(0,l)的条件下展开的. 通过分数阶数值微分将反问题转化为第二类Volterra积分方程后, 建立了源项反问题的条件稳定性和误差估计. 引进磨光正则化获得稳定的分数阶数值导数后, 给出了结合磨光算法的源项反演的误差估计. 数值实验结果验证了所得反演算法的有效性.

目录

声明

第一章引言

1.1 反问题简介

1.2 时间分数阶热传导反问题的研究动态

1.3主要研究内容

1.4 本文主要结构

第二章 一般区域上具有Dirichlet边界条件的源项反演

2.1 反问题的描述

2.2 源项反演的条件稳定性

2.3 积分方程的离散与数据的磨光

2.4 数值算例

2.5 本章小结

第三章 一维空间中的时间分数阶扩散方程的源项反演

3.1 反问题的描述

3.2 反问题的适定性分析

3.3 测量数据的磨光正则化及反问题解的误差估计

3.4 数值算例

3.5 本章小结

第四章 总结与展望

4.1 总结

4.2 展望

致谢

参考文献

附录