第二类弱奇异积分方程的改进配置法及相关应用研究

摘要

积分方程数值解是计算数学领域近年来的研究热点之一，主要研究积分方程数值解法的创新、数值解法的改进以及数值方法的应用等等。现有的一些积分方程诸如第二类弱奇异Fredholm积分方程和带有弱奇异的分数阶积-微分方程由于核函数带有一定的奇异性，以至于无法使用经典的积分方程数值方法直接对其进行求解，故而需要发展出一些新的数值解法或对经典传统的数值解法加以相应改进。　　本文主要工作是根据弱奇异积分方程的特点在经典配置法基础上提出了改进的Bernstein多项式配置法。改进的配置法通过选用合适的正交多项式，选取合适的配置节点，离散积分项，进而可转化为代数方程进行求解。该方法在求解积分方程相对于经典配置法具有更高的精度、更快的计算速度，而经典配置法在求解积分方程数值解方面存在运算量大、计算时间长等的不足。同时，文中通过相应的数值实验讨论了三种不同的节点剖分方法对弱奇异积分方程数值精度的影响和差异，从而得出了这类积分方程的最佳节点剖分方式。　　最后，为了进一步改善积分方程数值解法的精度，本文引入了模拟退火算法作为寻求最优配置节点的辅助算法。通过借鉴模拟退火算法全局收敛最优的良好性质，在配置节点的可选范围内不断寻优迭代，最终找到了问题的最优解。

目录

声明

第一章 绪论

1.1研究背景及意义

1.2求解积分方程的数值解法

1.3求解积分方程的配置法及其研究现状

1.4预备知识

1.5本文内容结构安排

第二章 改进的配置法求解第二类弱奇异Fredholm积分方程

2.1预备知识

2.2改进的配置法

2.3收敛性分析

2.4数值算例

第三章 求解分数阶积-微分方程的Bernstein配置法

3.1积-微分方程与积分方程的转换

3.2算法步骤

3.3收敛性分析

3.4数值算例

第四章 模拟退火算法在求解第二类Fredholm积分方程数值解中的应用

4.1预备知识

4.2模拟退火算法求解积分方程的方法

4.3数值算例

第五章 总结与展望

5.1总结

5.2展望

致谢

参考文献

硕士期间取得的研究成果