基于热传导方程正反问题的数值微分与数值实现

摘要

数值微分问题即数值导数问题，就是根据函数在某点处附近的一些离散点的函数值，计算其在这点处的近似导数值的问题,通常使用的方法有有限差分法、磨光法、积分方程方法等.　　本文主要基于热传导方程正反问题的数值微分方法和数值实现方法，其主要思想是将数值微分问题转化为热传导方程的源项反演问题，即首先将待求导函数值作为热传导方程定解问题的初值条件，计算该定解问题（正问题）得到一终值数据；然后利用这一终值数据和待求导的函数值作为附加条件，解一热传导方程源项反问题，从而获得数值导数.　　第一章，主要介绍了本文的研究内容和研究目的.　　第二章，给出了基于热传导方程初边值正问题和源项反问题的数值微分方法，证明了正问题的适定性和数值微分的条件稳定性，通过齐次化原理分析了源项反问题的不适定性；为克服问题的不适定性，利用线性方程的叠加原理和正则化技术将数值微分问题转化为一个离散泛函优化问题，再由离散泛函取极值的必要条件，泛函极小化问题转化为解一个正则化的线性代数方程组，从而获得数值导数.　　第三章，通过Taylor展开研究了一种8点高精度隐式差分格式，并分析了此格式的稳定性条件，数值算例表明所得到有限差分格式具有精度高稳定性好的特点.同时，介绍了经典的隐式交替迭代求解二维热传导方程的有限差分方法.　　第四章，给出了一元函数的一阶与二阶数值微分、二元函数的数值Laplace算子的若干数值算例，数值结果表明本文所提出的算法是有效的，且对数据噪声有比较强的稳定性.

目录

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第一章引言

1.1 数值微分

1.2 有限差分法

1.3 本文的内容安排

第二章基于热传导方程正反问题的数值微分方法

2.1 预备知识

2.2 基于热传导方程正反问题的数值微分方法的步骤

2.3 正问题的适定性

2.4 数值微分的条件稳定性

2.5 源项反问题的不适定性

2.6 反问题的正则优化方法

第三章热传导方程正问题的数值求解

3.1 一维正问题的高精度差分方法

3.2 二维正问题的有限差分方法

第四章数值微分模拟算例

4.1 一维函数数值微分数值模拟

4.2 二维函数数值微分数值模拟

第五章总结与展望

5.1 总结

5.2 展望

致谢

参考文献

附录