变系数非线性扩散方程的对称约化和精确解

摘要

非线性扩散方程作为一类重要的抛物型方程，来源于自然界广泛存在的扩散现象．渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等领域都提出这类方程，近些年来，越来越多的注意力放在了变系数非线性扩散方程的研究上．本文的目的就是分别利用广义条件对称（条件的Lie-B(a)cklund对称）方法、符号不变量方法和不变子空间方法研究了变系数非线性扩散方程的对称约化和精确解问题，　　本文主要做了以下三个方面的工作：　　1．利用广义条件对称方法，选取对称形式为η=[k(u)］xt，我们研究了带源项的变系数非线性扩散方程f(x)ut=(g(x)D(u)ux)x+q(x)Q(u)的对称约化、分类及其泛函加法分离变量形式的精确解．　　2．分别利用广义条件对称方法和符号不变量方法，选取二阶对称形式为η(x,u)=uxx+H(u)u2x+G(x,u)ux+F(x,u),一阶符号不变量形式为J(x,u)=ut-A(x，u)u2x-B(x,u)ux-C(x,u),我们研究了变系数非线性扩散方程f(x)ut=(g(x)D(u)ux)x+h(x)P(u)ux+q(x)Q（u）的对称约化、符号不变量和精确解.　　3．利用与广义条件对称方法相关的不变子空间方法，选取非线性广义条件对称形式为η(x,u)=［k(u)］nx+a1(x)［k(u)］(n-1)x+…+an(x)k(u)(n≤5，n∈Z+)，我们研究变系数非线性扩散方程ut=(g(x)D（u）ux)x+h(x)P(u)ux+q(x)Q(u).利用变换v=k（u）得到新方程vt=g(x)A(v)vxx+g(x)B(v)v2x+［g'(x)A(v)+h(x)C(v)］vx+q(x)E(v).新方程容许的线性广义条件对称为σ(x，v)=vnx+a1(x)v(n-1)x+…+an(x)v(n≤5，n∈Z+)．由σ=0和相应方程的相容性对新方程进行对称约化，并构造了对称约化所得方程定义在不变子空间Wn=W{f1(x),f2(x)，…，fn(x)｝≡{∑ni=1Cifi(x),Ci∈R｝（n≤5,n∈Z+)上的广义分离变量形式的精确解v(x,t)=c1(t)f1(x)+c2(t)f2(x)+…+cn(t)fn(x)=∑ni=1ci(t)fi(x).这些精确解可由变换v=k(v)转化为容许非线性广义条件对称η的原方程的广义泛函分离变量解k（u）=c1(t)f1(x)+c2(t)f2(x)+…+cn(t)fn(x)=∑ni=1ci(t)fi(x).

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