数论中一些著名函数及和式算术性质的研究

摘要

数论函数及和式的算术性质以及素数分布是数论尤其是解析数论研究的重要课题,数论中的DirichletL-函数、Gauss和、Dedekind和、特征和等函数及和式有着悠久的历史,许多学者对它们进行了深入的研究,并取得了许多引人注目的研究成果.随着数论的发展与研究的深入,素数分布一直是数论中一个十分活跃的研究课题.　　基于以上,本文利用初等及解析方法对DirichletL-函数、Dedekind和、Gauss和、特征和、素数分布等作了进一步的研究,得到了一些有趣的研究结果,具体地说,本文研究内容包括以下几方面:　　1.关于DirichletL-函数的均值问题的研究.令p>2为一素数,k≥1为一正整数,x为模p的Dirichlet特征,L(s,x)为特征x的DirichletL-函数.利用特征和的性质,研究了如下加权DirichletL-函数的均值,∑xmodpx(-1)=-1x(2k)|L(1,x)|2并给出了它们的准确的计算公式.　　2.关于包含Dedekind和的混合均值性质的研究.利用特征和的性质与解析方法研究了与Dedekind和相关的一个新的均值定理,并给出了两个有趣的渐近公式.　　3.关于Dirichlet特征多项式分布问题的研究,令m,n为整数,k为正整数,q=p1a1p2a2…pass为一完全平方数,xi为模piai(i=1,2,…,s)的一偶本原Dirichlet特征.利用高斯和、Kloosterman和与特征和的性质,研究了在q的所有素因子pi满足pi≡1(mod2k)以及(mn,q)=1的条件下的Dirichlet特征多项式x(mxk+nyk)的如下分布|∑qa=lx(mak+n(a)k)|(x=xix2…xs),其中a表示同余方程ax≡1(modq)的解,并给出了它们的一个准确的表示.　　4.关于特殊形式下的素数分布问题的研究,令α∈RQ,β∈R,且0<θ<2/375.利用傅里叶级数、Bombieri-Vinogradov定理以及线性筛法,证明了存在无限多个满足p+2=P4(Pr表示素因子不超过r个的整数,相同素因子按重数计)的素数p使得‖αp2+β‖-θ.　　5.关于特殊数及其多项式的算术性质的研究.利用第二类Stirling数的性质,研究了Bernoulli多项式和Euler多项式的循环关系,给出了它们的两个封闭公式.

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