基于交叉验证的基本解法求复杂区域边界值问题

摘要

无网格法是一类新兴的数值方法，近几十年来在科学和工程计算等领域广受欢迎。本文主要介绍其中的一种简单且有效的边界方法基本解法，重点研究如何选择源点和配置点的位置，以及解的精度和这些点所在位置的关系。　　基本解法是一种与边界元法相对应的无网格数值技术，把源点移到问题域之外，用微分算子基本解的线性组合近似问题的解，避免了边界元法中复杂的奇异数值积分。基本解法的精度和源点的位置密切相关，因此，如何选择虚拟边界，有效地配置源点是基本解法的发展和应用中亟需解决的难题。本文将详细介绍四种选则配置点和源点的方法，并将这些方法应用到不同的边界值问题。若区域内部点满足边界条件，简单的圆形或球形虚拟边界就能得到高精度的解;对内部点不满足边界条件的问题，最优的方法是在边界上按距离均匀分布配置点，并沿这些点的外法线方向选择源点。这些源点选择表达式包含未知参数，本文提出了两种有效的算法，成功解决了参数选择问题。算法一通过满足边界条件，最小化误差函数得到“最优的”参数值;算法二基于留一法交叉验证，最小化估计误差函数得到满足精度要求的参数值。将这两种算法运用到基本解法中求解二、三维复杂区域上的边界值问题，能以较低的计算成本得到高精度的解。　　本文还介绍了一种基于基本解法的图像重构算法，用基本解法在包含问题域的更大区域上解一个椭圆形边界值问题，提取出满足边界条件的点构成等值面，实现图像重构。

目录

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摘要

第一章 引言

第二章 基于径向基函数的无网格方法

2．1 径向基函数

2．2 基本解方法

2．3 特解法

2．4 基本解-特解法

第三章 交叉验证

3．1 交叉验证方法的分类

3．2 留一法交叉验证在径向基函数中的应用

第四章 基本解法的两种源点选择算法

4．1 配置点和源点选择方法

4．2 误差与源点位置的关系

4．3 基于边界条件选择源点

4．3 基于留一法交叉验证选择源点

第五章 三维图像重构

5．1 三维点云数据插值法

5．2 基本解法图像重构

第六章 数值算例

6．1 基本解法求Laplace边界值问题

6．2 基本解法求Biharmonic边界值问题

6．3 基于留一法交叉验证的基本解法求三维复杂区域问题

6．4 基于留一法交叉验证的基本解一特解法解Possion方程

第七章 结论

附录

参考文献

致谢

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