参数型曲线的有理插值

摘要

在数值计算中，在有限的点集上，给定插值函数的函数值，要求在包含该点集的区间上，用简单的表达式公式表示插值函数。在该区间上，用简单插值函数来逼近复杂插值函数。例如一些复杂的曲线、曲面等等。从计算几何和图形学方面来说，我们知道曲线、曲面可以有显式、隐式和参数表示，为了将其形状从特定的坐标系的依附性中解脱出来，我们利用参数来表示较好，采用参数方法表示曲线和曲面。用数学方法，可以对自由型曲线、曲面提供更精确表示，这样就更容易借助计算机得以实现。有理插值的插值形式比较简单，而且具有很好的保形性和光滑性，这利于对插值的局部修改。有理插值函数更具有灵活性，更能反映有理插值函数的特性（例如单调性、凹凸性）。
　　由于封闭曲线自身的表达式的隐性，故采用传统的多项式插值还是新型的有理样条插值对封闭曲线的数据点都没有很好的描述[28]。本文从有理插值的保单调性，保凸性等等方向来对插值函数的性质来描述。通过引入两个正参数αi和βi，利用隐函数的表示方式，分别在x和y上进行插值。在数据不变的前提下，通过参数的改变来进行交互式修改。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 CAGD产生背景

1．2 研究现状

1．3 研究意义

1．4 主要内容

2 相关知识

2．1 一元插值函数

2．1．1 一元插值函数的定义

2．1．2 性质

2．2 含参数的插值函数的构造

2．2．1 定义

2．2．2 性质

2．3 2／2型插值函数的构造

2．3．1 定义

2．3．2 性质

3 几种含参数的有理三次插值

3．1 含参数的分母为线性的有理三次插值

3．1．1 定义

3．1．2 性质

3．1．3 数值例子

3．1．4 误差分析

3．2 含参数的分母为二次的有理三次插值

3．2．1 定义

3．2．2 单调性

3．2．3 数值例子

3．2．4 误差分析

3．3 含参数的分母为三次的有理三次插值

3．3．1 定义

3．3．2 性质

3．3．3 数值例子

3．4 小结

4 含参数的有理四次插值

4．1 含参数的分母为线性的有理四次插值函数

4．1．1 定义

4．1．2 性质

4．2 含参数的分母为二次的有理四次插值

4．2．1 定义

4．2．2 插值样条曲线约束问题

4．3 含参数的分母为三次的有理四次插值

4．3．1 定义

4．3．2 插值样条曲线的约束问题

5 封闭曲线插值问题的研究

5．1 利用具有线性分母的有理三次插值来逼近封闭曲线

5．2 采用具有线性分母的有理四次插值来逼近封闭曲线

5．3 小结

6．1 总结

6．2 提出问题

参考文献

致谢

作者简介及读研期间主要研究成果