辛几何理论和小波变换方法在波动方程高频近似中的应用

摘要

该论文探讨了Maslov方法在波动方程高频近似中的应用及焦散区的具体求解方法;讨论了用小波变换化简二维非均匀缓变介质条件下的波动方程;该文还讨论了凹面反射的焦散现象、凹面反射焦散区的奇性种类,讨论了二、三维凹面反射波动场非焦散区、焦散区的计算方法.该论文的工作作为国家自然科学基金地震波传播与成像项目(NO.40174032)的一部分,得到如下结果:(一)论文分析了利用Maslov方法求解非均匀介质中波动方程高频近似解的基本原理和求解过程,构造了介质系数只在一个方向变化时波动方程高频近似解的通用计算公式.(二)构造了利用小波变换简化二维非均匀缓变介质中波动方程的近似方法. (三)深入讨论了凹面反射波动场的焦散现象、焦散区的几何结构与奇性的特点以及非焦散区、焦散区波动场的计算问题.论文主要包括三个方面:(1)分析了凹面反射的焦散现象,给出了不同凹面反射的焦散图;(2)分析了二维凹面反射波动场焦散现象产生的原因及焦散区奇性的种类,得出了二维凹面反射波动场焦散区奇性主要有折叠(fold)和尖点(cusp)两种的结论,利用辛几何方法构造了圆锥曲面反射波动场非焦散区和焦散区的通用计算公式,并给出了圆柱面、椭圆柱面及双曲柱面反射的计算结果;(3)分析了三维凹面反射波动场焦散现象产生的原因及焦散区奇性的种类,得出了三维凹面反射波动场焦散区奇性主要有折叠(fold)、尖点(cusp)和燕尾(swallowtail)三种的结论,提出了利用辛几何方法计算三维凹面反射波动场非焦散区和焦散区的计算方法,并给出了三轴不等椭球体凹面反射波动场的计算结果剖面图.论文还就今后所要开展的工作进行了分析和讨论.

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

§1.1本文研究的背景与意义

§1.2论文涉及的主要数学原理与方法

§1.3本文的主要工作及安排

第二章非均匀缓变介质中波动方程高频近似的小波-辛几何方法

§2.0预备知识

§2.0.1渐近序列、渐近级数与渐近展开[29]

§2.0.2带参数的Fourier变换

§2.0.3辛几何的几个基本概念[29][32]

§2.0.4稳相原理

§2.1引言

§2.1.1波动现象与波动方程

§2.1.2波动方程求解的高频近似方法

§2.2介质沿垂直方向变化时波动方程的高频近似解

§2.2.1二维波动方程的焦散现象

§2.2.2非焦散区的相位及振幅

§2.2.3焦散区高频近似解

§2.2.4计算实例

§2.3二维非均匀缓变介质中波动方程的小波简化

2.3.1均匀介质中波动方程的小波展开

2.3.2介质垂直变化时波动方程的小波简化

2.3.3非均匀缓变介质中波动方程的小波简化

§2.3.4计算实例

第三章凹面反射焦散区奇性分析与波场计算

§3.1凹面反射波动场焦散区奇性分类

§3.2柱面反射问题

§3.2.1二维凹面反射焦散现象

§3.2.2二维凹面反射焦散区奇性分析

§3.2.3二维凹面反射高频近似-Maslov方法

§3.2.4计算实例

§3.3椭球(球)面反射问题

§3.3.1椭球(球)面反射焦散现象

§3.3.2椭球(球)面反射焦散区奇性分析

§3.3.3椭球面反射波动场计算

第四章总结与展望

参考文献

作者在博士研究生期间完成的论文

鸣谢