多重线性算子,重写系统与GrÖbner-Shirshov基

摘要

作用于研究对象上的线性算子,在数学研究中起着重要的作用,比如微分代数中的微分算子(它是分析中微分算子的代数化)和Rota-Baxter代数中的罗巴算子(它是分析中积分算子的代数化). 受此启发,著名组合学家Rota提出了如下的公开问题:寻找代数上的线性算子满足的所有代数等式,称之为Rota分类问题.后来郭锂教授等人利用Gr?bner-Shirshov基理论和重写系统方法对Rota分类问题进行了精确的描述和刻画,并证明了一族线性算子多项式等式是Gr?bner-Shirshov基当且仅当它们诱导出的重写系统是收敛的,这里的线性算子是单重线性算子.在这篇文章中,我们继续Rota分类问题的研究,把郭锂教授等人的部分结果推广到多重线性算子版本.我们利用Gr?bner-Shirshov基理论和重写系统方法,来研究多重线性算子,证明一族多重线性算子多项式等式是Gr?bner-Shirshov基当且仅当它们诱导出的重写系统是收敛的.作为应用,我们验证了定义权重为λ的微分Rota-Baxter代数的双重线性算子等式诱导出的重写系统是收敛的,从而证明了这组等式是一个Gr?bner-Shirshov基.全文共分为三章.　　第一章介绍了多重线性算子的起源,发展历程和它在代数学中的地位: 多重线性算子理论作为一门介于非交换环理论和泛代数理论之间的独立学科,在代数学中有很大的发展前景.另外,简要说明了本文研究的主要内容,解决的关键问题和文章的结构安排.　　第二章首先回顾算子幺半群,算子代数,正向系统和正向极限等概念,重现自由算子幺半群的构造过程. 其次介绍了算子多项式等式,算子理想的定义,和从一族给定的多重算子多项式等式诱导出的一个重写系统的概念. 了解重写系统和重写系统中的基本性质,引入首项多项式,单项序和关于某一多项式的相交合成,包含合成的定义,同时给出例子进行阐示. 最后,探讨Gr?bner-Shirshov基和Composition-Diamond引理.　　第三章通过再现Newman引理在重写系统中的应用和项重写系统中关于系统汇合或终止的一些性质,来探讨由多重线性算子多项式等式生成的Gr?bner-Shirshov基和它导出的重写系统之间的关系.其中解决的关键问题是探究多重线性算子多项式等式生成的Gr?bner-Shirshov基和它诱导出的重写系统收敛的等价性. 随后通过具体计算验证了定义权重为λ的微分Rota-Baxter代数的双重线性算子等式诱导出的重写系统是收敛的,进而证明了这组等式是一个Gr?bner-Shirshov基.

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