常微分方程的有限差分方法及其简单应用

摘要

自然科学、社会科学等领域中提出的数学模型绝大多数与常微分方程的初值问题密切相关。长期以来，常微分方程初值问题的求解方法倍受数学研究者、工程技术人员关注。不幸的是，仅有极少数常微分方程能求出其精确解(用初等解析函数表示出来的解)，绝大部分的常微分方程的精确解难以求出。虽然，通过数学分析技巧能求出个别方程的精确解，可是因为其解的形式太复杂在应用中不方便使用。鉴于此，研究常微分方程数值解法具有理论意义和应用价值。事实上，有限差分法是求解常微分方程初值问题的最有效方法之一。
　　 有限差分法是一种成熟而有效的求解常微分方程近似解的方法，这种方法是基于差商代替导数(数值微分)或者积分插值(数值积分)，然后构造差分格式，通过差分迭代格式求解原微分方程，获得原微分方程的近似解。这种方法在工程技术领域应用极为广泛。
　　 本文对常微分方程初值问题的数值解法进行了比较系统的综述。主要介绍了应用中常用的典型方法，例如Euler折线法、Runge-Kutta法和Adams法等，给出具体算例，验证算法的有效性。
　　 最后，针对一个生态数学模型，利用Mathematica给出了具体的数值模拟分析，并对各种算法进行比较分析。