半空间上一类广义～Navier-Stokes方程解的大时间行为

摘要

近半个世纪以来流体力学的数学模型在众多科学领域比如航空科学、气象学、海洋科学以及生物医学等等发挥着越来越重要的作用。特别的经典Navier-Stokese方程被公认为是描述上述流体运动的基本方程组。然而对于一些复杂流体比如由于多孔介质流在运动过程中所产生的摩擦效应使得经典的Navier-Stokes方程不能再精确的描述其真实的运动，因为它的其动量方程中产生了非线性阻尼。本学位论文主要考虑下面一类带有非线性阻尼的广义Navier-Stokes方程。｛(a)tb-Δb+b·▽b+▽π+|b|β-1b=f，▽·b=0，(1)b(x，0)=b0.本文将重点研究上述三维广义Navier-Stokes方程在半空间上的代数衰减率。我们通过利用Stokes算子的谱分解和线性热方程的Lp-Lq估计的方法，通过精细的分析和计算得出了方程(1)在半空间中弱解的衰减率。
　　本文的主要结构如下:
　　第一部分，主要介绍和流体力学方程相关的物理知识背景。我们先给出流体动力学方程组相关的一些研究结论。其次，我们介绍本文所涉及到的一些公式和引理。
　　第二部分，首先利用Borchers和Miyakawa谱分解方法[6]，我们给出非线性算子部分的估计:定理0.1假定b是(1)的弱解.则‖E(λ)B(b)‖≤C‖b‖2λ5/4+C‖b‖ββλ3/4
　　然后利用Borchers和Miyakawa谱分解方法[6]，Bae和Choe[5]Lp-Lq的变形估计，我们得到三维广义Navier-Stokes方程在满足一定条件下。弱解关于时间衰减性的两个结果，定理0.2和定理0.3。定理0.2假定b是(1)的弱解,则有:(1) limt→∞‖b‖=0，b0∈L2σ(2)‖b(t)‖≤Ct-(3/2r-3/4)，t≥1，b0∈L2σ∩Lr(1≤r＜2)定理0.3假定b是(1)的弱解，且b0∈L2∩Lr，1≤r＜2，则当t≥1，∫R3+|x3b0|rdx＜∞，有:‖b(t)‖≤Ct-3/2（1/r-1/2）-1/2在这两个结果的基础上，我们可以得到弱解b(x，t)满足的两个推论。
　　第三部分，由定理0.2和定理0.3，可知方程(1)的解b=0是渐近稳定的。所以研究在外力不为零时系统(1)的非平凡解的渐近稳定性是一件很有意义的事。由定理0.2和定理0.3的衰减性结果，最后我们证明了下面的稳定性结果:定理0.4假设b0∈H1(R3+)∩Lβ+1(R3+)，当β≥7/2时，b(x，t)是系统方程(1)的解.则对于任意的初始扰动z0(x)∈L2(R3)，都存在下面扰动系统(2)的一个弱解v(x，t)｛(a)tv-Δv+v·▽v+▽π+|v|β-1v=f，▽·v=0,(2)v(x，0)=b0+z0，并且这个弱解v(x，t)以下面的方式渐近收敛到b(x，t):‖v(t)-b(t)‖→0，t→0。

目录

声明

摘要

第一章 引言

§1．1 研究背景

§1．2 研究的问题和主要结论

§1．3 预备知识

第二章 半空间上弱解的时间衰减性

§2．1 非线性部分估计

§2．2 半空间上弱解的时间衰减性

第三章 半空间上弱解的稳定性

§3．1 半空间上弱解的稳定性

§3．2 论文总结

参考文献

致谢

读研期间科研情况