四元数小波变换理论及其在图像处理中的应用研究

摘要

小波分析是二十世纪八十年代后期迅速发展起来的一门新兴数学分支，它是在傅里叶变换基础上发展起来的一种新的时频分析方法，在信号分析、图像处理与模式识别等领域中已广泛应用。图像去噪是图像处理中的经典问题之一，数字水印是信息隐藏技术领域的重要分支。目前常用的小波有实离散小波变换(DWT)及复小波变换(CWT)等。四元数小波变换(QWT)是图像处理的一种新的多尺度分析工具，具有良好平移不变性，可以提供不同尺度的一个幅值和三个相位信息。本文主要研究了四元数小波变换的有关理论及其在图像去噪与数字水印中的应用。主要工作总结为如下几个方面：　　1.基于四元数代数，希尔伯特变换及传统小波的理论与方法，深入研究了四元数小波的有关概念与性质。首先给出并证明了希尔伯特变换中的有关标准正交基的性质，由此研究了四元数小波变换在空间L2(R2)中尺度空间和小波空间中的标准正交基，然后给出了空间L2(R2；H)中四元数小波基函数，四元数小波尺度函数的概念，进一步给出了离散四元数小波变换的概念，同时还研究了四元数小波变换的结构及滤波器构造等等。　　2.在传统小波图像去噪模型基础上，研究了四元数小波变换在图像去噪中的应用，给出了四元数小波变换域上的三个图像去噪模型与算法：(1)基于四元数小波变换的隐马尔科夫树模型的图像去噪；(2)基于四元数小波变换的非高斯二元分布的贝叶斯统计模型的图像去噪算法；(3)基于四元数小波变换的混合统计模型的图像去噪。实验表明：本文这些方法的去噪效果，无论在峰值信噪比还是在视觉效果上均优于许多经典的去噪算法。　　3.给出了基于四元数小波变换域的SAR图像相干斑抑制模型。对于SAR图像，在引进加性模型的基础上，通过四元数小波变换，利用改进的系数分类准则，把系数分为两类：重要系数和非重要系数，提出了改进的Donoho阈值和新的阈值函数，并用它处理重要系数，估计出不含斑的四元数小波变换系数，从而得到抑制了相干斑的SAR图像。对真实SAR图像进行相干斑噪声抑制实验，结果显示：本文的方法在抑斑效果和图像的细节保留上均优于目前的许多方法。　　4.给出了一种基于四元数小波变换和奇异值分解相结合的数字图像水印算法。该算法对原始载体图像进行四元数小波变换和奇异值分解，对水印图像进行Arnold变换和奇异值分解，然后把分解的水印嵌入到分解后的原始载体图像中。实验结果表明：该算法对高斯噪声、剪切、JPEG压缩及滤波具有较强的鲁棒性。

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第一章 绪 论

1.1 四元数及其四元数彩色图像模型概述

1.2 小波分析发展及其研究现状

1.3 小波域图像去噪简介

1.3.1 图像去噪方法

1.3.2 小波域去噪简史

1.4 数字水印发展概况

1.5 本文的主要工作和创新点

1.5.1 本文的主要工作

1.5.2 本文工作的创新点

第二章 四元数解析信号及四元数傅里叶变换

2.1 引言

2.2 四元数的概念及性质

2.2.1 四元数的定义

2.2.2 四元数的其它表示形式

2.2.3 四元数的运算及性质

2.3 四元数矩阵及其性质

2.3.1 四元数矩阵的特征值和特征向量

2.3.2 四元数矩阵的等价复矩阵

2.3.3 四元数矩阵的等价实矩阵

2.4 四元数解析信号

2.4.1 一维Hilbert变换及其解析信号

2.4.2 二维Hilbert变换及其解析信号

2.4.3 四元数解析信号

2.5 四元数傅里叶变换

2.5.1 傅里叶变换概念

2.5.2 傅里叶变换性质

2.5.3 离散傅里叶变换

2.5.4 二维傅里叶变换

2.5.5 四元数傅里叶变换

2.6 小结

第三章 四元数小波变换

3.1 引言

3.2 实小波变换

3.2.1 连续小波变换

3.2.2 离散小波变换

3.2.3 多分辨率分析

3.2.4 Mallat算法

3.3 二维小波变换与图像处理

3.3.1 二维正交小波变换及快速算法

3.3.2 图像的小波分解与重构

3.3 双树复小波变换

3.3.1 双树复小波变换构造

3.3.2 二维双树复小波变换

3.4 四元数小波变换

3.4.1 四元数小波的尺度基与小波基

3.4.2 四元数小波变换结构

3.4.3 四元数小波变换的滤波器设计

3.4.4 四元数小波变换的相位及图像分解

3.5 小结

第四章 四元数小波变换在图像去噪中的应用

4.1 引言

4.2 噪声模型及去噪算法的评价标准

4.2.1 噪声模型

4.2.2 去噪性能评价标准

4.2.3 模型参数估计

4.3 小波阈值图像去噪

4.3.1 常用的阈值

4.3.2 阈值函数

4.4 基于四元数小波域HMT模型的图像去噪

4.4.1 传统HMT模型去噪的缺陷

4.4.2 Q-HMT模型及参数估计

4.4.3 Q-HMT模型在图像去噪中的应用

4.4.4 实验与分析

4.5 基于非高斯分布的四元数小波图像去噪

4.5.1 非高斯分布模型

4.5.2 层次贝叶斯统计模型的后验分布

4.5.3 改进的二元收缩模型

4.5.4 实验与分析

4.6 基于四元数小波域混合统计模型的图像去噪

4.6.1 系数分类准则

4.6.2 尺度内模型

4.6.3 实验与分析

4.7 基于四元数小波域SAR图像相干斑抑制

4.7.1 SAR图像的相干斑模型

4.7.2 改进的系数分类准则

4.7.3 改进的全局阈值

4.7.4 新阈值函数

4.7.5 实验与分析

4.8 小结

第五章 四元数小波变换在数字水印中的应用

5.1 引言

5.1 数字水印系统模型

5.2 数字水印技术

5.2.1 数字水印算法分类

5.2.2 图像的Arnold变换

5.3 四元数矩阵的奇异值分解

5.3.1 四元数矩阵奇异值分解的存在性

5.3.2 四元数矩阵奇异值分解的性质

5.3.3 四元数矩阵与其复表示矩阵奇异值分解的关系

5.3.4 四元数矩阵与其实表示矩阵奇异值分解的关系

5.3.5 彩色图像的四元数矩阵奇异值分解

5.4 基于四元数矩阵奇异值分解的数字图像水印

5.5 基于四元数小波变换和矩阵奇异值分解的数字图像水印

5.6 小结

第六章 总结与展望

6.1 本文的工作总结

6.2 今后的研究工作展望

参考文献

攻读博士学位期间主持和参加的科研项目

攻读博士学位期间完成的论文