二维位势问题边界条件识别反演问题的正则化方法

摘要

介绍数学物理反演问题的概念、分类、不适定性及反演问题的研究现状。综述了采用边界元方法求解边界条件识别反演问题的研究进展。　　介绍了奇异值分解方法、广义奇异值分解方法和Tikhonov正则化方法的原理。讨论了确定正则化参数的方法，例如L-curve法、广义交叉核(GCV)法、拟最优化法、Morozov偏差原理等。　　推导了二维位势问题边界积分方程及其边界元法离散过程，对二维各向同性位势边界条件识别反演问题，采用Tikhonov正则化方法实施正则化。采用L曲线法得到正则参数。对已知部分边界条件和内点信息的边界条件反演问题作了系统的研究。截断奇异值分解方法也可求解该问题。　　对二维薄体正交各向异性位势边界条件识别反演问题，引入解析积分算法和截断奇异值分解技术，将解析积分法用于处理离散数值积分时出现的几乎奇异积分，截断奇异值技术用于求解离散积分所得方程。提出了波动曲线法来截取得到适用的奇异值，该法基于位势梯度计算结果。　　数值算例表明，Tikhonov正则化方法、截断奇异值分解方法等都对二维位势边界条件识别反演问题有效。

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第一章 绪论

1.1 力学及其数值方法概述

1.2 边界元法的发展

1.3 数学物理反问题概述

1.4 反演问题的性质

1.4.1 不适定性

1.4.2 误差来源

1.5 反演问题研究现状和进展

1.6 本文主要内容

第二章 SVD和Tikhonov正则化方法

2.1 奇异值分解方法

2.1.1 奇异值分解(SVD)

2.1.2 广义奇异值分解(GSVD)

2.2 TIKHONOV正则化方法

2.2.1 不带初始估计值的TIKHONOV方法

2.2.2 带初始估计值的TIKHONOV方法

2.2.3 确定正则化参数的方法

2.3 应用TIKHONOV正则化方法算例

第三章 二维各向同性位势边界条件识别反演问题

3.1 二维位势问题的边界积分方程

3.2 边界元方法的实施

3.2.1 线性元离散矩阵方程

3.2.2 角点处理

3.3 对角元素计算

3.4 算例

3.5 小结

第四章 二维正交各向异性薄体位势边界条件识别反演问题

4.1 概述

4.2 正交各向异性位势问题边界积分方程

4.3 截断奇异值分解

4.4 算例

4.5 小结

第五章 全文总结

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文及参加的科研项目