基于预处理Navier-Stokes方程的一类子系统的求解方法研究

摘要

至于鞍点问题，对典型的非线性 Navier-Stokes方程通过线性化后得到的等价线性系统求解可能很困难。许多学者提出用预条件技术改变等价线性系统系数矩阵的谱性质从而可能通过用迭代法达到快速收敛的效果。正是由于鞍点问题被离散后所产生不适定稀疏矩阵的性质很差，这常常需要构造高效的预条件子来改善其谱性质。比如M.Benzi等人提出的AL（Augmented Lagrangian）预条件子与RDF（Relaxed Dimensional Factorization）预条件子，从其构造和实际使用来看，它们都应该是很有竞争力的预条件子。
　　本文以AL预条件子与RDF预条件子的实施出发，研究一类系统的求解问题（矩阵的求逆问题），从而减少整个迭代过程的处理时间。对在细网格上产生的稀疏矩阵，直接对计算过程中的子矩阵求逆是不实际的，因为这时的矩阵规模很大。所以研究怎样高效地求解这一问题是很必要的。
　　本文首先介绍AL预条件子与RDF预条件子，然后引出所要研究的问题。由于这一类矩阵的求逆在AL及RDF预条件子中都会涉及，且用直接LU分解或迭代法都可以解决，所以我们将归纳这两种处理策略。鉴于所研究矩阵的结构特性，我们在LU分解的基础上结合这种特殊的稀疏块结构，提出了块LU分解和块三对角分解处理方法，而且也用近似逆思想对矩阵进行求逆分析，以此构成一套处理这类问题的思路。
　　最后，我们对提出的方法进行数值实验，并与直接LU分解进行比较。实验结果表明，新策略可以明显地减少整个处理过程的时间消耗，尤其是块分解策略。由于矩阵的性质不好，近似逆策略可能会导致整个迭代过程不收敛。对于细网格上的问题，虽然迭代策略可能降低整个求解过程的收敛速度，但迭代法处理要比直接法更经济。

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第一章 绪 论

1.1 基于预处理技术求解鞍点问题的发展

1.2 本论文的结构安排

第二章 子系统分析与处理

2.1 两类预处理技术

2.1.1 分裂型预条件子

2.1.2 扩张型预条件子

2.2 子系统的求解方法

2.2.1 块LU分解处理

2.2.2 矩阵近似逆处理

2.2.3 用迭代法处理

2.3 数值试验

2.4 本章小结

第三章 结 论

3.1 本文的主要贡献

3.2 下一步工作的展望

致谢

参考文献

附录

攻硕期间取得的研究成果