三维欧氏空间中的非可展直纹面

摘要

微分几何是一门历史悠久而且至今仍然生命力旺盛的学科，近几年来它对其它自然学科的影响也是越来越深刻和广泛.曲面论和曲线论是微分几何中两大重要的内容，其中直纹面因具有良好的性质而在曲面论中占据十分重要的地位.在三维欧氏空间中的直纹面根据它的高斯曲率可以将其分为两大类:可展的直纹面以及非可展的直纹面.对于可展的直纹面来说，研究已经相当成熟，包括直纹面的形式，分类，性质等等，但是对于非可展的直纹面，研究的就相对较少.
　　本文的主要内容就是研究非可展的直纹面，首先利用非可展直纹面腰曲线的存在唯一性，将腰曲线选为直纹面的准线，并取b（u）为单位球面曲线，其中u为其弧长参数.之后建立该球面曲线的Frenet标架，计算Frenet公式，并用Frenet标架表示a'（u），即a'(u)=λx+μy.本文以κg=c为前提，得到a'(u）=（λ+cμ）x+c1μ，我们主要讨论（λ+cμ）的分类.针对（λ+cμ）=0，（λ+cμ）=p以及（λ+cμ）=p(u)这三种情况，研究直纹面的表示，以及直纹面所具有的一些基本性质，包括曲面的高斯曲率，平均曲率，第一和第二基本形式等等.

目录

声明

摘要

第1章 引言

1．1 微分几何的过去与未来

1．2 微分几何在中国

1．3 欧氏几何

1．4 非欧氏几何

1．5 本文的主要内容、研究目的及意义

第2章 预备知识

2．1 三维欧氏空间

2．2 三维欧氏空间中的标架

2．3 三维欧氏空间中的内积、外积、混合积

2．4 三维欧氏空间中的曲线以及曲线的Frenet公式

2．5 曲面的基本量

2．5．1 曲面的第一基本量

2．5．2 曲面的第二基本量

2．5．3 曲面的高斯曲率和平均曲率

2．6 三维欧氏空间中的直纹面

2．6．1 直纹面的定义

2．6．2 可展直纹面的定义

2．6．3 非可展直纹面的定义

2．6．4 直纹面的性质

2．6．5 直纹面的基本量

第3章 主要结论及证明

3．1 当λ+μc=0时

3．1．1 直纹面的形式

3．1．2 直纹面的高斯曲率和平均曲率

3．2 当λ+μc=p(常数)≠0时

3．2．1 直纹面的形式

3．2．2 直纹面的基本量

3．2．3 直纹面的例子

3．3 当λ+cμ=p(u)(p(u)为关于u的函数)时

3．3．1 直纹面的形式

3．3．2 直纹面的一些相关量

第4章 总结

参考文献

致谢