有界区域上的径向基函数Bernstein不等式的研究

摘要

径向基函数(RBF)插值是多元函数逼近的一种高效方法。经过几十年的研究，其相关数学理论，如Sobolev型误差估计等，均得到了不断的完善。同时径向基函数也被用于求偏微分方程的数值解，称为径向基无网格方法。
　　同分片多项式逼近的反不等式一样，Bernstein类不等式在径向基插值理论和径向基无网格方法的理论分析中也起着重要的作用。实际应用中，我们研究的函数往往定义在有界区域上，或者仅仅关心有界区域上的取值。在本文中，我们通过带限函数以及尺度化核的方法，得到在有界区域上的Bernstein类不等式。
　　对于径向基函数插值而言，在实际运用时，由于存在不确定性(Uncertainty-principle)，即：数据点密度越小，插值矩阵的条件数越大，甚至奇异，可能会导致方程解严重失真，因此，研究插值矩阵的稳定性也是径向基函数无网格方法的一个重要工作，在本文中，我们将研究非对称配置法在边值问题上的条件数估计，得到插值矩阵的条件数与数据点密度之间的关系。根据这个结论，以及本性空间的性质，容易得到径向基函数在R n上的Bernstein类不等式，本文给出了几个径向基函数的数值模拟结果来验证这个不等式。

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第一章 引言

1.1 研究背景

1.2国内外研究现状

1.3本文研究内容

第二章 背景知识

2.1 Sobolev空间

2.2全局径向基函数与紧支径向基函数

2.3 径向基函数插值理论

2.4 带限函数插值理论

第三章 有界区域上径向基函数Bernstein不等式

3.1 标记

3.2 有界区域上的Bernstein不等式

3.3 Bernstein不等式

3.4 本章评论

第四章 非对称配置法求解边值问题稳定性估计

4.1 非对称配置法求解PDE数值解

4.2 最小特征值估计

4.3 条件数估计

4.4 数值实验

4.5本章评论

第五章 一种新的反估计不等式

5.1 Rn 上的反不等式

5.2 有界区域上的反不等式

5.3 本章评论

第六章 结论与展望

致谢

参考文献

附录

附录一：一维数值例子

附录二：二维数值例子

攻硕期间取得的研究成果