一类具有时滞的捕食与被捕食传染病模型的稳定性分析

摘要

在种群动力学中捕食与被捕食系统是一种基本结构，研究捕食系统对于理解现实世界具有十分重要的指导意义．本文在第一部分介绍了生物数学这门学科，它主要包含了两个分支(传染病动力学和种群动力学)，并介绍了这两个分支的研究背景与现状，给出了生态模型的分类及常用的理论工具（通常采用的工具和理论包括：动力学系统、积分方程、微分方程、泛函微分方程、差分方程、算子半群理论和线性代数等）．给出了经常用到的两种主要时滞模型（离散时滞模型和连续时滞模型），并且阐述了本文模型所研究的背景和一些预备知识．
　　研究具有时滞的捕食与被捕食的传染病模型的稳定性以及Hopf分支情况．利用特征方程的相关方法、Hopf分支理论以及Rouche‘s定理等理论分析了各个非负平衡点的渐近稳定性．研究了该传染病模型的线性稳定性，得出系统在各个平衡点处存在稳定性的条件以及发出分支周期解时的条件，在满足一定的条件下给出了系统的一列Hopf分支值。
　　运用黎兹表示定理,有界变差函数, Dirac函数,中心流形定理和正规型方法以及一些算子计算的性质，讨论本文时滞系统发出分支的稳定性，并且得到了决定分支出周期解的参数的精确表达式。首先用泰勒展开式将时滞系统在平衡点处进行展开，用双线性积的性质计算，通过正规型方法以及中心流形定理得到时滞系统的在平衡点的分支方向和分支周期解的稳定性，给出了决定周期解稳定性和分支方向的各量的精确表达式.

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第一章 绪论

1.1 生物数学的概述

1.1.1 生物数学的发展历史

1.1.2 非线性种群动力学

1.1.3非线性传染病动力学

1.2 目前的研究背景以及现状

1.3 预备知识

第二章 具有时滞的传染病模型的稳定性分析

2.1模型的建立与描述

2.2 时滞系统的稳定性分析

2.2.1 平衡点E0 ， E1的稳定性

2.2.2 平衡点E2的稳定性

2.2.3 平衡点E4的稳定性分析

2.2.4平衡点E3=( x, y, 0)的稳定性

2.2.5 平衡点E*的稳定性

第三章 时滞系统的Hopf分支的方向和稳定性

3.1 分支与分支周期解的发展与研究

3.2 时滞系统的Hopf分支研究

总结

致谢

参考文献