随机波动率模型下使用期权对冲的风险最小化问题

摘要

受经济全球化和金融一体化，金融创新与技术进步等因素的影响，市场风险管理成为金融工程与现代金融理论的核心内容之一。其中，期权作为一项常用的衍生品工具，因其具有灵活多变，成本较低、双向受利等优点，受到了金融机构的广泛欢迎与应用。然而在数学金融理论上，利用期权进行风险管理却至少涉及到资产定价、市场风险计算、风险最小化等多方面的内容，因此是一类综合性较强、也较为困难的问题。本文以风险值(Value at Risk)作为风险度量，研究了在较为复杂的股价和利率随机波动率模型下，股票和债券的风险最小化问题。本文的主要工作内容与研究成果归纳如下： 1.由于以往关于使用期权进行风险最小化问题的研究都是基于常值波动率模型下，本文在股价随机波动率股价模型下进行了此问题的研究，计算出了此模型下期末资产组合的解析形式，以及风险值的解析形式，并证明了在风险对冲成本限制条件下的VaR最小化问题，可以等价地通过解一个仅有一个未知变量的微分方程得出。 2.对于更复杂的债券随机波动率模型，无法得到太多解析形式的结果，但本文在随机波动率的Fong-Vasicek利率模型下，结合风险最小化问题这一实际应用背景、结合解析与数值方法提出了随机波动率模型下的一种期权定价和风险最小化的算法，并且说明了这种算法由于前半部分有解析形式解，并且后半部分的风险值最小化与利率过程模拟无关，因此在计算复杂性上是可行的。 3.对于一个随机波动率的Cox-Ingersoll-Ross股价模型，Monte-Carlo方法对一个具体的风险最小化问题进行了数值模拟，使用本文讨论得到的算法较快捷地得到了风险最小化问题的解，并与常值波动率模型下的情况进行了比较。