自由流和多孔介质流耦合问题的数学和数值分析

摘要

本文围绕着耦合的自由流和多孔介质流问题的数学和数值分析而展开.我们首先分析了一种基本情形：Stokes流与Darcy流耦合问题.此耦合问题的模型是由自由流体区域的Stokes方程、多孔介质区域的Darcy定律和某些合适的交界面条件构成.这里的交界面条件我们采用流量连续条件、力的平衡条件和Beavers-Joseph-Saffman条件.这个问题在实际中也有着广泛的应用，如在水力学、环境科学和生物流体力学等方面；同时在数学和数值分析方面也很具有挑战性：两区域内方程的解具有不同的正则性，交界面上流体的切向速度不连续，变分形式中积分项在交界面上要比在区域内部少一维，要保证不降低解的正则性和逼近误差阶都难度不小.
　　 对这个问题的研究可以追溯到上世纪90年代[32，55]的工作，当时还仅限于对问题进行数值计算，并且两篇文章在两区域交界面上都选择使用Beavers-Joseph条件Beavers-Joseph条件是由Beavers和Joseph[7]利用实验得出的自由流体在多孔介质界面附近切向流速规律；在此之前，人们普遍认为在多孔介质界面上流速满足粘滞条件.后来由Jones[39]将Beavers-Joseph条件推广到多维情形，由Saffman[54]通过理论推导得出Beavers-Joseph条件的近似形式(Beavers-Joseph-Saffman条件).
　　 利用Beavers-Joseph-Saffman条件，2002年和2003年的两篇独立的文章[22]和[43]分别从两个不同的角度论证了耦合问题弱解的存在唯一性：[22]中均采用原始变量，即对Stokes方程采用混合形式而对Darcy方程采用椭圆方程变分形式；[43]则是对两个方程都采用混合形式，同时两篇文章也都提出了各自的数值算法.此后关于此耦合问题的数值求解方法的文章大量涌现，基本上都是基于[22]和[43]提出的变分形式.而基于对两个方程都用混合形式的数值算法又可分为两类：一类是在不同区域用不同的有限元离散；另一种是在两区域使用相同的有限元离散.使用同一有限元的优势在于不论是在理论分析还是在程序实现中处理交界面条件更加方便，同时也使得编写程序代码时可以较少考虑单元所在区域，从而编写效率更高.我们也用同一元的思想对Stokes流与Darcy流耦合问题提出了一种稳定化混合元方法.在整个Stokes和Darcy区域对流场压力和速度分别采用分片常数和Crouzeix-Raviart有限元空间来逼近，并且通过使用一个罚项加罚速度在单元边界的跳量来满足格式的稳定性.这里使用C-R元是因为它具有与分片常数压力组合易于满足inf-sup条件、能保持分片单元质量守恒、二维和三维情形都容易实现等好处.详细的分析请见第一章和第二章.
　　 然而实际应用中人们关心的不仅仅是流体的流速和压力，更多的是流体中质量和热量的传递过程.于是我们接下来考虑的是在耦合的自由流体和多孔介质区域内流体中的溶解盐或污染物的运动规律的数学模型.这样的模型在实际中有着很多令人感兴趣的应用：它可以预测河流中污染物对地下水的污染程度；可以模拟在拥有大洞穴的地层中的混溶驱动过程；还可以描述与过滤有关的多种工业生产过程.这个耦合问题实际含有两层耦合含义：一是两区域间的耦合，在不同的区域上有不同的流动形式、不同的传质系数和不同的源汇项，只在交界面上进行物理量的传递；二是流动方程和传质方程之间的耦合，通过流速和浓度彼此相互影响.因此这双重耦合会导致整个系统异常复杂.单独区域内(特别是渗流区)的耦合流动和传质问题的工作已有很多[8，56，41，27，16，23，24，53]，但是耦合区域内耦合的流动和传质问题的研究还较少.文章[61]中虽然讨论了这样的问题，但是基于流体粘度系数和溶质浓度无关的假设，这样的假设其实已经将水流方程和浓度方程分离开来.
　　 我们接下来研究的是带传质方程的Navicr-Stokes/Darcy全耦合系统，其中流体粘度是依赖于溶质浓度的.首先我们提出了问题的数学模型以及与之等价的弱形式.由于整个系统是由流速和浓度耦合在一起的非线性系统，我们采用的办法是构造一种迭代格式来对整个系统解耦.然后，对于解耦后的问题，弱解就是相应时间离散问题的一个极限解，这类似于Temam[58]中处理Navier-Stokes方程的方法.这样我们能就可以得到一组解序列，再利用解序列的有界性和收敛性来证明解序列的极限就是弱形式的一个解，从而确定了解的存在性结论.同时我们也针对半经典解的情形证明了解的唯一性结论.然后为了设计数值计算格式，我们对模型中的参数做了稍稍限定，提出了另一种容易导出数值格式的弱形式.在数值离散时，由于问题是与时间有关的，因此我们充分利用时间外插技术，不仅将耦合在一起的水流方程和浓度方程分离开来，更关键的是利用区域分解的思想将全区域上水流方程的求解问题分解为交替求解的自由流和多孔介质流两个子问题.这里采用区域分解策略的目的有两个：一是可以利用已有的单区域问题解法来求解；二是可以允许在不同区域采用不同的时间步长，因为在大多数情况下多孔介质内流场随时间的变化要比自由流区域内物理量变化慢得多.
　　 对数值格式进行误差分析时，会出现交界面上的误差项，此时由于积分区域维数的降低，在估计误差阶时一般会出现阶的损失.因此对于一般情况，理论分析不能得到最优的L2模误差估计.但是如果此时相应的方程具有一定的正则性结论的话，那么可以利用椭圆投影技术和边界误差负模估计技巧来推出最优L2模误差估计.我们也讨论了这里需要的偏微分方程正则性理论成立的条件.最后通过数值实验来验证理论估计的正确性.在构造数值算例时，选取的解一般都具有足够的光滑性，因此我们在数值实验中能够看出误差的L2模有最优的收敛阶.
　　 本文的组织结构如下：
　　 在第一章中，我们针对稳态Stokes流和Darcy流耦合问题提出并分析了一种稳定化的混合有限元格式.此格式在整个区域上都使用相同的非协调”Crouzeix-Raviart有限元离散.我们推导并获得了离散的inf-sup条件和最优的误差估计.最后，用数值算例来验证理论推导的正确性.
　　 在第二章中，我们将第一章中的一致稳定混合有限元方法应用到非稳态的Stokcs流和Darcy流耦合问题，提出了半离散和全离散有限元格式，并分别进行了误差分析，得到了在能量模意义下的最优误差估计.
　　 在第三章中，我们考虑了一个由Navier-Stokes方程、Daxcy方程以及质量传递方程组成的耦合系统，这个系统用来描述带传质过程的自由流和多孔介质流耦合问题模型.在合理的物理参数假设下，我们证明了这个耦合系统的弱解存在性理论和半经典解的唯一性理论.
　　 在第四章中，我们考虑了第三章中的耦合系统的数值逼近，提出了一种全离散有限元格式，该格式不仅将水流方程和浓度方程分离开来求解，而且将全区域上水流方程问题分解为自由流体区域和多孔介质区域上两个子问题来分别求解.我们讨论了误差估计的最优情形并用数值算例验证了理论分析的正确性.