反向热传导问题的高阶修正方法

摘要

数学物理逆问题是21世纪应用数学中发展最快、最具有应用价值的研究领域之一，而且其应用前景也非常广泛。逆问题的研究困难之处在于它的不适定性，反向热传导方程是其中一类典型的逆问题。
　　本文考虑如下形式的反向热传导方程：{ut=uxx， x∈R， t∈[0，T），u(x，T)=ψT(x），x∈R.我们想要通过原始数据ψT(x)来求出在0≤t＜T时的温度分布u(·，t)。对于反向热传导问题，国内外的许多学者都做出了重大的研究贡献。其中由Zhi Qian，Chu-Li Fu和Rui Shi合作的文章[4]中通过添加一个三阶混合偏微分项解决了反向热传导方程的稳定性问题，然而其缺点在于近似解没有达到收敛最优阶。对于上述方法的缺陷，改进出了高阶修正方法，即考虑如下的高阶修正方程:{(6)v/(6)t=(6)2v/(6)x2+λ(6)4k+2/(6)x4k+2（(6)v/(6)t），x∈R，￡∈[0，T），v(x，T)=ψδT(x）， x∈R.通过选取合适的正则化参数λ和正整数k，在不同的先验信息下我们分别达到了H(o)lder型和对数型的稳定性估计，最后通过数值试验也验证了我们的结论。

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 引言

第二章 预备知识

§2．1 不适定问题的正则化理论

§2．2 最坏情形误差

§2．3 反向热传导方程的理论分析

§2．4 反向热传导方程国内外的最新研究现状和研究成果

2．4．1 Fourier正则化方法

2．4．2 修正的Tikhonov正则化方法

2．4．3 Shannon小波正则化方法

2．4．4 迭代补偿正则化方法

2．4．5 修正方程正则化方法

第三章 高阶修正方程方法在L2范数下的误差估计

第四章 高阶修正方程方法在H8范数下的误差估计

第五章 数值实验

第六章 结论及展望

参考文献

致谢