几类波传播偏微分方程有效数值方法研究

摘要

本文主要研究了三类求解波传播偏微分方程有效数值方法，这三类方程分别为:薛定谔方程，磁化等离子体中耦合电流的麦克斯韦方程组和正则长波方程.并对三类波传播偏微分方程进行了数值方法开发研究.基于问题的背景和方程的内在结构，提出了一系列卓有成效的无条件稳定的有效数值格式，理论分析其能量守恒性质、数值稳定性质、收敛性和误差估计，并进行数值实验研究和非线性波实际传播数值模拟研究。
　　全文分为六章，组织结构如下:
　　在第一章中，我们考虑Dirichlet边界条件的二维线性薛定谔方程.Liao和Tian等人构造了紧致ADI方法求解线性薛定谔方程，然而，这些二维ADI格式不能保持能量守恒.在本章中，结合分裂技巧和高阶紧致算子，我们提出了一种新的守恒分裂四阶紧致有限差分格式，它具有电荷守恒和能量守恒的性质.在分裂过程中，我们将方程分裂为x-或y-方向，为了得到时间二阶的收敛率，我们的分裂格式为三步方法.在分裂方程的两端应用四阶空间紧致算子，这确保得到了空间四阶收敛率.在分裂的每一步，可以得到一个对称的三对角方程组，这使得方程组很容易由Thomas方法求解.我们严格证明了所提格式满足电荷和能量守恒，并且是无条件稳定的.四阶紧致差分算子仅仅利用了x-和y-方向的三个点，这使得计算近边界网格点时，紧算子不会越过计算区域，同时保证了边界处不会有电荷损失.我们证明了格式满足空间四阶和时间二阶的最优误差估计.格式很容易实现并且可以推广到求解高维问题.数值算例表明格式满足电荷和能量守恒，并且收敛阶和理论分析结果一致.此外，我们的格式完美地模拟了瞬态高斯分布碰撞和分离的物理运动.
　　在第二章中，我们考虑二维非线性薛定谔方程.非线性薛定谔方程常用来描述和预测重要非线性波和非线性效应的传播，比如涡旋和孤子.Spotz等人提出时变问题的一种稳态高阶紧致差分方法.Caplan等人描述了一个易于实现的拉普拉斯算子的两步高阶紧格式，并且将其应用到显式有限差分格式来模拟非线性薛定谔方程.但是，这几种格式都不满足物理守恒定律.因此，提出一种守恒紧致分裂步有限差分格式求解高维非线性薛定谔方程是很重要的，而且是很困难的研究任务.在本章中，我们结合算子分裂技术提出一种新的守恒四阶紧致分裂步的有限差分格式来分析求解二维非线性薛定谔方程.我们研究工作的特色在于所提非线性格式是守恒的、无条件稳定的，并且通过引入紧致差分算子离散空间方向，在不增加计算消耗的情况下，使得空间收敛率得到提高.在每一个时间步，我们将方程分裂为线性部分和非线性部分.对于非线性部分，我们可以直接求解.对于线性部分，我们采用空间分裂求解.我们严格证明了我们求解的非线性薛定谔方程的新格式满足电荷守恒，并且是无条件稳定的.我们进一步证明了我们的格式在离散的L2范数意义下，具有空间四阶收敛率和时间二阶收敛率.数值算例验证了我们的理论分析结果.并且研究不同聚焦参数β的非线性波的传播物理现象.
　　在第三章中，我们考虑无界区域上的非线性薛定谔方程.研究无界区域上的物理问题，具有很重要的现实意义.无界区域上非线性薛定谔方程的数值方法和其理论分析是重要和困难的研究方向.对于无界区域上的线性薛定谔方程，Han和Sun等人提出并分析了一维线性问题的有限差分方法.由拉普拉斯方法得到了有限计算区域的人工边界条件，其中Sun等证明了所提格式是无条件稳定的，并且分析了无界区域一维线性薛定谔方程差分格式的误差估计.对于无界区域上的非线性薛定谔方程，Antoine和Zheng等提出了相应的人工边界条件，然而文献并没有给出无界域上非线性薛定谔方程数值方法的收敛性分析.在本章中，我们构造了无界域上的非线性薛定谔方程有限差分方法的人工边界条件，并对所提耦合有限差分格式进行了理论性分析.首先我们将无穷区域问题分为三个子空间问题，即区间x∈(xL，xR)上的内部问题和左右外部问题.然后通过拉普拉斯变换，分析两个外部问题得到两个解析人工边界条件.因此，通过引入这两个人工边界，将原始的无界区域的非线性薛定谔方程截断为有界区域的初边值问题.接下来引入辅助变量，我们给出了具有人工边界条件的非线性薛定谔方程的耦合有限差分格式.我们引入一外推算子处理非线性项.我们严格证明了所提的具有离散人工边界条件求解非线性薛定谔方程的耦合有限差分格式是无条件稳定的，并且证明了格式的收敛性.数值算例表明在人工边界处没有数值反射.我们研究了不连续的势函数对波传播的影响.另外，我们在本章的最后模拟了孤子的碰撞，尽管强烈的非线性相互作用，所有的孤子都可以恢复它们的形状，然后以特定的速度移动.
　　在第四章中，我们研究磁化等离子体中电磁波的传播.在存在外部磁场的情况下，等离子体表现出各向异性行为.当电磁波在磁化等离子中传播时，等离子体不仅衰减入射波的能量，而且也改变传播方向.因此，磁化等离子体有着广泛的应用，比如卫星通信，空间气象灾害，远感，地球物理和散射体的雷达散射界面控制.对于电磁波在等离子体中的传播模型，中提出一些显式有限差分格式，然而它们是条件稳定的，因为时间步长受CFL条件限制.提出一步蛙跳交替方向隐式FDTD方法，提出一种具有局部无条件稳定性的三步一维FDTD方法.虽然这些方法得到了无条件稳定性，但是并不满足能量守恒定律.本章中，我们着重研究在各向异性等离子体中能量守恒的FDTD方法.由于电磁波和磁化等离子体的相互作用，以及等离子体频率和回旋频率是空间变化性，这使得构造各向异性的磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒的数值格式是很困难的.我们提出了两种守恒有限差分方法，即FDTD-EC方法和FDTD-I方法.FDTD-I格式仅对常数的等离子体频率和回旋频率满足能量守恒定律.我们进一步提出改进FDTD-I格式以获得变化的等离子体频率和回旋频率的磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒格式FDTD-EC.我们理论地证明了FDTD-EC格式满足变频率情况下的两种离散能量守恒关系，因此得到了无条件稳定性.同时我们也证明了这两个格式的数值解具有时间和空间二阶的收敛率.数值算例的结果和我们的理论分析一致.我们进一步利用所提格式模拟电磁波在磁化等离子体中的传播.我们的结果表明，磁化等离子体可以有效地吸收电磁波并改变传播方向.吸收和各向异性的特征主要取决于电磁波的频率，等离子体频率（由电子密度决定）和回旋频率（由外部磁场决定）等几个参数.这些发现可以帮助理解等离子体频率和回旋频率对等离子体中电磁波传播的影响，并为特定的应用设计最佳的等离子体材料.
　　在第五章中，我们开发一种高效的数值方法模拟磁化等离子体中电磁波的传播.一般情况下，传统的FDTD方法受CFL条件的限制，是条件稳定的.对于经典的麦克斯韦方程组，为了克服CFL条件的限制，许多学者提出无条件稳定的分裂时域有限差分方法.但是对于磁化等离子体模型中耦合电流方程的麦克斯韦方程组，无条件稳定的算法还是很少.Wang等提出了各向异性等离子体中的交替方向隐式(ADI)时域有限差分方法.Hosseini等人提出了一种无条件稳定性的局部一维时域有限差分方法.虽然上述的分裂方法对于二维问题是无条件稳定的，但是打破了磁化等离子体中的能量守恒性质.本章中，我们提出耦合电流方程的麦克斯韦方程组的能量守恒分裂时域有限差分方法(EC-S-FDTD).对于变化的等离子体频率和回旋频率，构造磁化等离子体的能量守恒格式是困难的.并且，分裂格步可能会进一步破坏守恒性质.在研究中，为了得到时间二阶收敛率，我们所提的格式每个时间层包含三步.第一步和第三步均包括五个方程，并且这五个方程可分别化为对称的三对角方程组，然后根据Thomas方法有效地求解.第二步包含四个方程.为了得到能量守恒性，我们将电流方程中的两个张量积项均放在第二步，电流密度Jx和Jy联合很容易求解.我们理论性地证明了所提EC-S-FDTD格式满足离散范数下的两种能量守恒关系，并且得出了无条件稳定性.利用能量的方法，我们证明了分裂格式的收敛性为时间二阶和空间二阶.数值算例验证了我们的理论分析.并且模拟了电磁波在磁化等离子体中的传播.
　　最后，在第六章中，我们研究了非线性正则长波方程.正则长波方程中的非线性项，使得很难找到正则长波方程的解析解.因此，人们对具有初边值条件的正则长波方程的数值解进行了各种研究.Zheng[155]等人提出了一种使用Richardson外推法的有限差分方法.他们利用五点得到了四阶收敛性.Akbari[5]提出了一种求解广义长波方程的紧致有限差分方法.然而这些方法不符合能量守恒定律.本章中提出了两种守恒的四阶紧致有限差分方法来分析正则长波方程的数值解，它们分别是两层非线性隐的和三层线性隐的，前者的非线性格式使得计算相对耗时，后者的线性化格式使得计算节约时间.我们提出两个四阶紧致有限差分算子Lx和Mx，它们沿着x方向仅仅利用三个网格点得到了空间四阶的收敛率.非线性项的存在和紧算子的利用增加了证明守恒性和收敛性的难度.我们证明了所提格式的数值解满足质量守恒和能量守恒，并且解是存在唯一的.利用能量的方法，我们证明了在没有网格比限制的条件下格式是收敛的，无条件稳定的.‖·‖和‖·‖L∞范数下的最优误差满足空间四阶和时间二阶的收敛率.数值算例和我们的理论分析结果一致.最后，我们模拟了两孤波和三孤波的碰撞和分离过程，另外还模拟了在Maxwellian初始条件下，对不同的方程参数，波的传播变化情况。

目录

声明

摘要

第一章 二维薛定谔方程的守恒分裂高阶紧致有限差分方法

§1．1 引言

§1．2 守恒分裂四阶紧致差分格式

§1．3 离散格式的守恒性，稳定性和收敛性

§1．4 数值模拟

§1．5 本章小结

第二章 二维非线性薛定谔方程的守恒分裂步紧致有限差分格式

§2．1 引言

§2．2 守恒紧致分裂步差分格式

§2．3 守恒性，稳定性和收敛性

§2．4 数值算例

§2．5 本章小结

第三章 具有人工边界条件的非线性薛定谔方程无界区域问题的有限差分方法

§3．1 引言

§3．2 具有人工边界条件的非线性薛定谔方程

§3．3 具有人工边界条件的非线性薛定谔方程的有限差分方法

§3．4 稳定性

§3．5 收敛性

§3．6 数值实验

§3．7 本章小结

第四章 各向异性磁化等离子中电磁波传播的能量守恒FDTD方法

§4．1 引言

§4．2 磁化等离子中的数学模型

§4．3 能量守恒的FDTD格式

§4．4 FDTD-EC格式的能量守恒性

§4．5 收敛性分析

§4．6 数值模拟

§4．7 本章小结

第五章 磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒分裂时域有限差分方法

§5．1 引言

§5．2 能量守恒分裂时域有限差分方法

§5．3 离散的能量守恒性

§5．4 收敛性分析

§5．5 数值模拟

§5．6 本章小结

第六章 正则长波方程的守恒四阶紧致有限差分方法

§6．1 引言

§6．2 非线性守恒紧致有限差分格式

§6．2．1 两层的非线性守恒紧致有限差分格式

§6．2．2 一些引理

§6．2．3 离散的守恒定律

§6．2．4 先验估计

§6．2．5 解的存在唯一性

§6．3 线性守恒紧致有限差分格式

§6．3．1 线性守恒紧致有限差分格式的守恒性

§6．3．2 线性守恒紧致有限差分格式的解的存在唯一性

§6．4 数值实验

§6．5 本章小结

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成的工作

作者简介