A Comparison of Explicit Runge--Kutta methods for nonstiff IVPs and their adaptation for solving nonstiff DDES

摘要

鉴于多数微分方程的初值问题无法解析地求解，实际问题中往往需要求助于数值方法。在本硕士论文中，我们研究了一类特殊的显式单步法:显式龙格库塔法。
　　 本文主要研究和比较了显式龙格库塔法在非刚性微分方程，以及非刚性单一常时滞微分方程中的应用。首先，基于计算量和计算误差之间的关系，重点比较了4，5，6阶显式龙格库塔法。研究表明，不存在能适应全部初值问题求解的有效方法，而显式龙格库塔法对非刚性初值问题却十分有效。其次，假设计算量与显式龙格库塔法的级数成比例，比较了不同阶的显式龙格库塔法，数值模拟结果表明高阶龙格库塔法比低阶龙格库塔法更加优越。在较少的计算量的情况下，高阶龙格库塔法能获得更高精度的数值解。
　　 最后，分别将4，5，6阶显式龙格库塔法应用到求解时滞微分方程，具体研究了上述三类显式龙格库塔方法在求解单一常时滞微分方程时的效果。正如按步法解析地求解时滞微分方程，依次在长为时滞值的区间上运用显式龙格库塔法，同时计算该区间上的埃尔米特插值便可以获得该区间上的数值解。我们运用3支撑点构造了4阶和5阶显式龙格库塔法，运用4支撑点构造了6阶显式龙格库塔法。理论分析和数值算例表明，6阶显式龙格库塔法优于4阶和5阶显式龙格库塔法。

目录

声明

Acknowledgements

摘要

Abstract

Table of Contents

Chapter 1

1．1 Introduction

1．2 Numerical Solutions of Differential Equations

1．2．1 Single (One) Step Methods

1．2．2 Multistep Methods

1．2．3 Explicit and implicit methods

1．3 Definition of the problem

Chapter 2 Literature Review

2．1 Historical Development of Runge-Kutta Methods

2．2 Derivation of Explicit Runge-Kutta methods

2．3 Generalization of Explicit Runge-Kutta methods

2．4 Convergence，Order and Stability of Explicit Runge-Kutta methods

2．5 Adaption of Explicit Runge-Kutta methods for nonstiff constant delay DDEs

2．5．1 Introduction to DDEs

2．5．2 Numerical solutions of DDEs

2．5．3 Adaption of Explicit Runge-Kutta methods for nonstiff constant delay DDEs

Chapter 3：Comparison of Explicit Runge-Kutta Methods for IVP and their adaption to DDEs

3．1 Formulas of Explicit Runge-Kutta Methods

3．2 Implementation costs

3．3 Computational effort versus Error

3．4 Absolute Error and Convergence Rates

3．5 Numerical Results for the Adaptation of ERK methods to delay Differential Equations

3．6 Discussion on the comparison and adaptation of the methods

Chapter 4 Conclusion and Recommendation

Conclusions

Recommendations

References

Appendix

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