高维肿瘤生长模型自由边界问题的数学分析

摘要

本文针对multi—layer型的肿瘤生长模型，对一类定义在无界区域上的高维自由边界问题进行系统的研究，建立该问题的适定性和解的渐近性态。Cui，Escher和Zhou等人曾对带有周期边界条件的这类高维自由边界问题进行了系统的研究.本文则研究非周期边界条件的情形.这种情况与带有周期边界条件的同类问题性质上有较大的区别，原因在于带有周期边界条件的问题可约化为无边界的紧致流形上的问题，其线性化问题的谱是离散谱即只含有特征值，而我们这里研究的非周期边界条件的自由边界问题是非紧致流形上的问题，其线性化问题的谱是连续谱，必须借助于拟微分算子等工具来计算.全文共分五章. 第一章，是本文的综述. 第二章，我们研究只含营养物不含抑制物的multi—layer型肿瘤生长模型拟稳态情形的自由边界问题.对带有周期边界条件的同类问题，已由Cui和Escher最近解决.本文研究非周期边界条件的情形.我们首先证明该问题在适当的函数空间中是适定的.然后研究解的渐近行为.通过应用拟微分算子等工具计算线性化问题的谱和利用线性化原理，我们证明了存在临界值γ*，使得如果自由边界的表面张力系数γ>γ*，唯一的扁平稳态解是渐近稳定的，而如果γ<γ*，这个扁平稳态解是不稳定的.主要方法是把该问题转化为Banach空间上的微分方程，并应用拟微分算子等工具来计算线性化算子的谱，然后应用抽象空间中抛物型微分方程适定性理论和几何理论得到原问题的适定性和渐近性态. 第三章，我们研究上述只含营养物不含抑制物的multi—layer型肿瘤生长模型完全非稳态情形的自由边界问题，对于完全非稳态即c≠0的情形，同样地，我们利用泛函分析的方法，首先把原自由边界问题转化为固定区域上的初边值问题，再转化为Banach空间上的微分方程，利用抽象空间中的抛物型微分方程理论得到我们所要的结果.和第二章不同的是，那里化简所得到的方程是只含边界函数ρ一个未知函数的单个方程，而对这里的完全非稳态情形，最后化简所得到的是同时含有边界函数ρ和营养物浓度σ两个未知函数的微分方程组.该问题的线性化问题的谱的计算更加复杂.为了克服这个困难，我们应用了文献[42]所使用的相似化方法，证明了如果c足够小，存在，γ*，使得γ>γ*时，该问题的唯一的扁平稳态解是渐近稳定的. 第四章，我们研究在营养物和抑制物共同作用下的multi—layer肿瘤模型拟稳态情形的自由边界问题的适定性和解的渐近性态.该问题包含定义在R2中无界区域上的三个椭圆方程.方程所定义的区域是由一条固定边界和一个自由边界所围成的无界区域.类似于第二章的讨论，我们把原问题转化为Banach空间中的微分方程，通过计算线性化算子的谱并应用抽象的微分方程理论，证明了该问题的适定性并研究了解的渐近行为，把第二章的结果推广到具有抑制物作用的multi—layer肿瘤模型. 第五章，我们研究在营养物和抑制物共同作用下的multi—layer肿瘤模型完全非稳态情形的自由边界问题的适定性和解的渐近性态.该问题为第四章研究的问题所对应的完全非稳态形式.采用与第三章类似的方法，我们建立了该问题的适定性，并证明了第四章的有关解的渐近行为的结果在营养物和抑制物的扩散速率远远大于细胞的繁衍速率的条件下，对完全非稳态情形也成立.

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章综述

第2章 无抑制物作用multi-layer肿瘤生长模型Ⅰ：拟稳态情形

2.1.问题和主要结果

2.2问题的转化

2.3线性化和特征值

2.4定理2.2的证明

第3章无抑制物作用multi-layer肿瘤生长模型Ⅱ：完全非稳态情形

3.1.问题和主要结果

3.2问题的简化

3.3 F'(U*)的计算

3.4 F'(U*)的谱的计算

3.5定理3.2的证明

第4章 有抑制物作用的multi-layer肿瘤生长模型Ⅰ：拟稳态情形

4.1问题和主要结果

4.2问题的适定性

4.3线性化和特征值

4.4定理4.3的证明

第5章 有抑制物作用的multi-layer肿瘤生长模型Ⅱ：完全非稳态情形

5.1问题和主要结果

5.2问题的简化

5.3 F'(U*)的计算

5.4 F'(U*)的谱的计算

5.5渐近行为

参考文献

攻读博士学位期间完成的论文

致谢