离散时间控制系统零动态的稳定性研究

摘要

不稳定零动态的存在限制了控制系统可能达到的性能品质,并将导致一些控制策略无法直接应用;特别地,由于采样过程影响零动态的稳定性,使得零动态的稳定性在数字控制系统设计与分析中的作用进一步增强。另一方面,当一个连续时间系统经采样开关和保持器离散化后,连续时间极点和离散时间极点之间存在一个简单的对应关系;然而对于零动态,这样的简单关系并不存在,即零动态的稳定性在采样过程中不一定能得到保存。
　　离散时间控制系统的零动态由真性零动态和采样零动态组成,其中真性零动态与原连续时间控制系统零动态相对应,趋近于1;而采样零动态与原连续时间系统零动态无任何的联系,仅仅只由原连续时间系统的相对阶数(relative degree)或极点盈数(pole excess)决定,并收敛到一些特定多项式的根。此外,由于离散时间零动态是关于采样周期的函数,通常情况下很难直接给予其明确的渐近关系,只有在某些特殊情况下,才有可能对零动态特性作出描述。
　　论文旨在针对离散时间零动态的复杂特性,围绕不同的采样信号保持器,面向单输入单输出(single-input single-output, SISO)系统、多输入多输出(multi-input multi-output, MIMO)系统和时间延迟系统展开理论研究,并进一步通过将这些理论体系应用到实际的控制系统以验证其有效性。论文在研究方法和思路上力求有所突破,主要研究工作及相关成果包括如下几个方面:
　　1.在分数阶保持器(fractional-order hold, FROH)条件下,给出了基于线性SISO连续时间系统标准形描述的对应离散时间模型的具体表达形式,并进一步研究了其相应的线性SISO离散化零动态的渐近特征和稳定条件,而且论文导出的研究成果在精确程度上远远高于已有的结果,也更有利于离散时间系统控制器的设计与分析;在此基础上,针对相对阶数大于2的连续时间系统,FROH无法配置稳定的采样零动态的情况,论文提出一种推广的FROH,既可任意配置采样零动态到稳定区域,又能避免或者减弱间隔振荡(intersample ripple)现象。
　　2.当相对阶数大于2时,零阶保持器(zero-order hold, ZOH)和FROH条件下一定存在不稳定的采样零动态。针对这一情况,论文从理论上证明了在广义采样数据保持函数(generalized sampled-data hold function, GSHF)条件下,即使线性连续时间系统的相对阶数大于2,相应的线性离散时间系统仍然可以通过选择合适的设计参数来稳定其采样零动态,并且还分析了如何任意配置采样零动态到稳定区域;进一步,针对线性MIMO连续时间系统至少有一个相对阶数大于2的情形,论文通过Taylor幂级数展开式和多项式矩阵分析等理论导出了GSHF条件下的线性MIMO离散时间模型的近似具体表达形式,并在此基础上,进而分析并研究其相应的GSHF零动态的渐近表达式,同时给出了对应的稳定条件,这也说明当多变量系统至少有一个相对阶数大于2时,相比ZOH和FROH,GSHF更能通过选择合适的设计参数来提供稳定的离散化零动态。
　　3.在GSHF等多率采样保持条件下,给出了非线性 SISO连续时间系统的近似离散时间模型,所导出的近似离散时间模型精确度可达到r阶或r?1阶,其中r为相对阶数;同时,详细分析了近似离散时间模型相应的局部截断误差;进一步,给出了多率条件下的非线性SISO离散时间系统零动态的渐近特征,以及相对阶数为2时采样零动态的稳定条件,研究结果表明非线性离散时间系统的零动态与线性采样系统零动态的特征多项式有密切联系;最后还对一类特殊的多率采样函数,即在样条函数下对非线性离散时间模型及离散化零动态进行刻画。
　　4.由于 MIMO系统存在子系统、输入和输出间的耦合等复杂性,对MIMO离散时间系统零动态的特性研究显得非常困难和复杂,尤其是对有独特技术要求和制约因素的非线性控制系统。论文先从ZOH情形出发,提出了比已有研究成果更精确的非线性离散时间模型,并给出了采样零动态的渐近表达式和相应稳定条件,这加强了非线性MIMO离散时间系统零动态的稳定性;进一步,将采样保持器从ZOH过渡到FROH,导出非线性MIMO离散时间模型及其相应零动态的渐近特征,FROH多变量采样零动态可通过设计参数的调节使得其稳定范围大于ZOH所能提供的稳定范围。
　　5.针对实际系统中广泛存在的时间延迟现象,论文还对线性时间延迟 SISO系统、线性时间延迟 MIMO系统和非线性 SISO时间延迟系统进行了相关分析,研究了这三类时间延迟系统的近似离散时间模型,并分析了其相应的时间延迟离散化零动态的渐近特性和稳定条件,研究表明它与原连续时间系统的相对阶数有密切关系;此外,论文还论证了非线性时延系统的采样零动态与无时延非线性系统的采样零动态有非常相似的渐近特征,都可以由线性系统对应情形的特征多项式来表征。
　　6.在理论研究和分析的基础上,论文还将研究成果应用于两类典型的非线性系统实例,即:非线性对称多变量质量-阻尼-弹簧机械振动系统和非线性三自由度纵列式双旋翼直升机模型系统。研究分析了这两类非线性系统的近似离散时间模型,及其相应的局部截断误差和全局截断误差,最后给出了这两类非线性系统采样零动态的渐近特性和稳定条件,并基于其稳定性展开离散控制器设计。