Moment-angle复形的上同调环

摘要

对于每一个有限单纯复形K，存在一个与之对应的moment-an91e复形(Z)K。如果K是球面的单纯剖分，则对应的moment-angle复形是一个紧流形。本文基于Buchstaber，Panov，和Baskakov的研究工作，首先给出了底空间K上的一些组合运算所对应的moment-aNgle复形的上同调环H*((Z)K)的计算公式。比如Gorenstein*复形的连通和，以及单纯球的stellar subdivision所对应的moment-angle复形的上同调环的公式。这些公式对研究moment-angle流形的几何结构有十分重要的意义。
　　尽管大部分moment-angle流形的上同调环可以有任意形式的挠子群，以及非零的Massey乘积，因而具有复杂的几何性质。但是存在这样一类(有无限多个)momenyt-angle流形，他们微分同胚(或者至少在上同调环的角度同构)于球面乘积的连通和。Bosio和Meersselnan在[8，§11]中详细研究了这一类moment-angle流形，而他们给出的此类例子都是同胚于两个球面乘积的连通和，所以他们猜测是否此类moment-angle流形只能是两个球面乘积的连通和。本文从上同调环的角度给出了一个反例：构造了一个三维的单纯球，使其所对应的moment-angle流形与一个球面乘积的连通和的上同调环同构，而这个球面乘积的连通和包含一个连通和项是三个球面的乘积。此外我们还通过巧妙的组合证明，给出了此类moment-angle流形的两个一般的性质。
　　我们还证明了如果K是一个有flag性质的二维单纯球，则H*((Z)K)是一个不可分解环，从而进一步得到(Z)K是素流形。利用这一结果以及前面提到的单纯球的连通和所对应的moment-angle流形的上同调环的公式，我们可以判定一些二维单纯球以及它们所对应的moment-angle流形是否是上同调刚性的，从而部分回答了环面拓扑中这一经典问题。

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Chapter 1 Intro duction

1.1 Background

1.2 Main results

Chapter 2 Preliminaries

2.1 Simplicial complexes and face rings

2.2 Moment-angle complexes

2.3 Cohomology rings of moment-angle complexes

2.4 Functorial properties of moment-angle complexes

Chapter 3 Gorenstein* complexes and the cohomology ring of (Z)K1#K2

3.1 The cohomology ring of (Z)K1∪σK2

3.2 Gorenstein* complexes and their connected sums

3.3 Calculation of H*((Z)K1#K2)

Chapter 4 Stellar sub divisions

Chapter 5 Moment-angle manifolds and connected sums of sphere pro ducts

5.1 A classical problem in toric topology

5.2 Construction of a polytopal 3-sphere with eight vertices

5.3 Calculation of H*((Z)P 828 )

5.4 Some universal properties

Chapter 6 Moment-angle manifolds asso ciated to flag 2-spheres

6.1 Flag complexes

6.2 Indecomposable rings and prime manifolds

Chapter 7 Rigidity problems

7.1 Cohomological rigidity and B-rigidity

7.2 Combinatorial information of K from H*((Z)K )

参考文献

致谢

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