时间分数阶偏微分方程的差分方法及误差分析

摘要

由于在科学和工程中的成功应用，分数阶偏微分方程越来越受到研究者的重视，分数阶偏微分方程的数值方法研究也成为近年来应用数学和计算科学的一个重要方向，本文研究了带有时间分数阶导数的低扩散方程以及超扩散方程(分数阶波方程)，对这几类问题构造了有限差分格式并建立相应的误差估计式。
　　首先考虑带Riemann-Liouville型分数阶导数的低扩散方程，对一维问题建立Crank-Nicolson格式以提高时间方向的全局精度，并给出具体的截断误差估计式，我们证明了格式的唯一可解性，无条件稳定性和H1范数下的收敛性，收敛阶为O(τmin{2-γ/2，1+γ}h2)，其中γ(0<γ<1)是反常扩散指数，τ和h分别表示时间和空间方向的网格步长，利用Sobolev嵌入定理，可得最大模误差估计式。在Crank-Nicolson格式的基础上建立紧差分格式并给出相应的误差估计，收敛阶为O(τmin{2-γ/2，1+γ}h4).数值试验验证了理论结果的正确性，与相关工作的数值比较表明本文算法的有效性，进一步将该算法推广到二维矩形域问题的求解，建立了紧交替方向隐格式，证明了算法的可解性，无条件稳定性和收敛性。给出了两个不同范数意义下的误差估计式，分别为H1模意义下O(τmin{2-γ/2，2γ}h41+h42)，以及H1γ模意义下O(2γ+h41+h42)，其中h1，h2代表空间网格步长。
　　接下来研究带α(0<α<2)阶Caputo导数的二维分数阶扩散-方程，对于带有α(0<α<1)阶caputo导数的二维分数阶扩散方程，构造了两个具有不同时间精度的交替方向隐格式，空间方向采用标准的中心差分方法，时间方向利用L1近和向后Euler方法的思想构造交替方向格式.在每一个固定时间层上，高维问题的求解转化为求解一系列相互独立的一维问题，从而降低了计算复杂度和CPU时间.理论上证明了两个格式的唯一可解性，稳定性和H1模收敛性.数值试验验证了理论结果，与传统隐格式的数值比较表明本文方法的有效性.将这一思想应用到带α(1<α<2)阶Caputo导数的分数阶波方程，建立了分数阶波方程的紧交替方向隐格式并证明了格式的唯一可解性，无条件稳定性和收敛性.收敛阶为O(τ3-α+h41+h42).另外，对二维分数阶波方程还建立了Crank-Nicolson型交替方向格式并证明了相应的误差估计式.理论结果表明，相对于传统隐格式，本文对分数阶波方程构造的两个交替方向隐格式在时间方向完全不损失精度.数值结果验证了理论分析的正确性，同时表明紧交替方向隐格式有效的降低了存储量和CPU时间。