广义分支过程及其相应的Markov积分半群

摘要

关于Markov过程理论的研究，历来有概率方法和分析方法。近年来，用分析的方法来研究Markov过程，数学家们已取得一系列成果。本文着力于使用分析的方法，以算子半群理论为工具，先系统的研究了广义分支矩阵Q及其转移函数F(t)的性质，尤其是广义分支矩阵Q在l∞上的性质。进一步证明了广义分支矩阵Q的导出算子Ql∞在l∞空间上生成Q—积分半群和导出算子—Qol1在l1空间上生成正压缩半群，并研究了相应的Q—积分半群和正压缩半群的一些性质。 广义分支过程是一类重要的时间连续Markov链，状态空间E=Z+={0，1，2，．．．}，其q—矩阵Q=(qij；i，J∈E)定义为： 为了系统的了解广义分支过程，本文在第二章给出了矩阵Q及其最小Q—函数F(t)的一些基本性质，定理2.1.1给出了矩阵Q的次随机单调性、正则性及零流出，而定理2.1.2则给出了最小Q—函数．F(t)唯一且忠实性，对偶性。结果如下： 定理2.1.1如果广义分支q—矩阵Q满足下列条件之一 (ⅰ)θ＞1，．Bˊ(1)≤0 (ⅱ)θ≤1， Bˊ(1)＜+∞ (ⅲ)θ≤1，B′(1)=+∞∫1ε(1—s)θ-1/—B(s)dx=+∞这里q是方程B(s)=0的一个根，且0＜q＜1，ε∈(q，1)．那么 (1)广义分支q—矩阵Q是次随机单调的； (2)广义分支q—矩阵Q是正则的； (3)广义分支q—矩阵Q是零流出的； (4)广义分支q—矩阵Q是非对偶的。 广义分支矩阵的最小Q—函数F(t)具有如下性质： 定理2.1.2如果广义分支q—矩阵Q满足下列条件之一 (ⅰ)θ＞1， B′(1)≤0 (ⅱ)θ≤1， B′(1)＜+∞ (ⅲ)θ≤1，B′(1)=+∞．∫1ε(1—s)θ-1/—B(s)dx=+∞这里q是方程B(s)=0的一个根，且0＜q＜1，ε∈(q，1)．设广义分支q—矩阵Q的最小Q—函数为F(t)． 那么 (1)F(t)是唯一且忠实的； (2)F(t)是非随机单调的； (3)F(t)是对偶的。 在第三章中，我们分别给出了广义分支矩阵Q的导出算子Ql∞，—Qol1与Qc0在l∞，l1，c0空间上的一些性质，定理3.1.1给出了λI—Ql∞在l∞单射与满射成立的条件及Ql∞的耗散性与闭性满足的条件，定理3.1.2得到了λI——Qol1在l1单射与满射成立的条件及—Qol1的耗散性满足的条件，定理3，1.3我们则验证了Qc0在c0上耗散性与能闭性。结果如下： 定理3.1.1当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时， (1)对(A)λ＞0，λI—Ql∞在l∞空间上是单射； (2)对(A)λ＞0，λI—Ql∞在l∞空间上是满射； (3)Ql∞是耗散算子； (4)Ql∞是闭算子。 定理3.1.2当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时， (1)Qol1在l1空间上是稠定线性算子； (2)Qol1是耗散算子，Qol1是能闭算子，—Qol1是耗散算子； (3)对(A)λ＞0，λI——Qol1在l1空间上是单射； (4)对()λ＞0，λI——Qol1在l1空间上是满射． 定理3.1.3当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时， (1)Oc0在c0空间上是稠定线性算子； (2)Qc0是耗散算子； (3)Qc0在c0空间上是能闭的线性算子； (4)对()λ＞0，λI—Qc0在c0空间上是单射. 在[5]中Y．R．Li着重讨论了转移函数在l∞上的性质，得到了一般的无界q—矩阵Q在l∞上生成一次正压缩积分半群。第四章中我们在Y．R．Li[5]的基础上对广义分支矩阵Q做了一些限制，首先得到了Q导出的算子Ql∞在l∞空间上生成一次正压缩积分半群的充要条件及生成积分Q—半群的条件。进一步的我们研究了Q导出的算子—Qol1在l1空间上生成正压缩半群的条件。我们得到如下结果： 定理4.1.1广义分支矩阵Ql∞在空间l∞上生成一正的压缩积分半群T(t)=(Tij(t)；i，j∈Z+)的充要条件是定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立．此时(Tˊij(t))=P(t)=(pij(t))． 定理4.1.2当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时，Ql∞在空间l∞上生成的压缩积分半群T(t)是积分Q—半群。 定理4.1.3当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时，—Qol1在l1空间上生成正压缩半群S(t)=(Sij(t)；i，j∈E)且X(t)=F(t)． 第五章中我们在第四章基础上，进一步得出了广义分支矩阵Ql∞在空间l∞上生成一正的压缩积分半群的次随机单凋性和Feller性。结果如下． 定理5.1.1广义分支矩阵生成的积分半群T(t)是次随机单调的． 定理5.1.2如果T(t)是广义分支q—矩阵生成的正压缩积分半群，那么(Tˊij(t))=P(y)是Feller的，T(t)是Feller的，即，对于j∈Z+，t＞0，有limi→∞Tij(t)=0．

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章前言与文献综述

1.1前言

1.2文献综述

1.3预备知识

第2章广义分支过程的性质

2.1广义分支过程的性质

2.2证明

第3章广义分支矩阵导出的算子

3.1广义分支矩阵导出的算子的性质

3.2证明

第4章广义分支矩阵导出的算子与半群

4.1广义分支矩阵导出的算子生成半群和刻划

4.2证明

第5章广义分支矩阵生成的积分半群的性质

5.1广义分支矩阵生成的积分群的性质

5.2证明

第6章进一步的问题

参考文献

攻读硕士学位期间的工作

致谢