含非局部算子的椭圆方程共振和近共振问题

摘要

本文利用临界点理论研究了含有非局部算子的椭圆型方程在共振和近共振条件下解的存在性及多重性。全文共由下面四部分组成。
　　第一章为绪论，主要介绍了相关问题的背景及必要的预备知识。
　　第二章考虑Kirchhoff方程
　　此处为公式
　　其中Ω是股RN(N=1,2,3)中有足够光滑边界(e)Q的有界开区域，a≥0,b>0是实值常数，f:Ω×R→K是Caratheodory函数具有次临界增长。注意，这里项fΩ|▽u|2dx的出现使方程不再是逐点成立。我们考虑了三种共振和近共振条件下解的存在性和多重性:
　　（i)当f(x,u)=μu3+ g(x,u)+h(x)时，运用山路引理和Ekeland’s变分原理得到了μ从左边趋近非线性主特征值μ1时多解的存在性；
　　（ii)运用G-环绕定理证明了比值4F(x,t)/bt4在特征值μk和μk+1之间振荡并可能等于μk+1时解的存在性；
　　（iii)运用鞍点定理及对泛函值的仔细估计找到了比值4F(x,t)/bt4在特征值μ1和μ'2之间振荡并可能等于μ'2时非平凡解的存在性。这里义是本文重新定义出的第二个非线性特征值。
　　第三章研究分数阶椭圆方程
　　此处为公式
　　其中此处为公工,被称作分数阶的p—Laplacian算子，为非局部非线性算子，具体定义如下：
　　此处为公式
　　由分数阶椭圆算子的定义知分数阶椭圆方程解存在性问题也属于非局部问题。假设非线性项f满足次线性增长条件。首先，我们模拟第二章的相关部分的证明，找到了分数阶p-Laplacian方程关于主特征值近共振条件下多重解的存在性结论。当p=2时，我们证明了λ从上方和下方趋近非主特征值情形下多重解的存在性。一方面，当λ从下方趋近非主特征值时，连续两次使用鞍点定理证明两个鞍点解的存在性并利用能量水平的不同进行区分。另一方面，当λ从上方趋近非主特征值时，我们在一列有限维空间上考虑此类问题，并模拟前一种情形找到了固定维数时的两个不同解。随后，通过Galerkin逼近技巧，对找到的解关于有限问题的维数取极限找到原问题的两个解。
　　最后一章我们顺带考虑了p-Laplacian方程关于Fu(c)ík谱关于平凡谱线共振问题的解。

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中文摘要

英文摘要

第 一 章 绪 论

1 .1 研究背景介绍

1 .2 预备知识

1 .3 本文的主要工作

第二章 Kirchhoff方 程 的 共 振 和 近 共 振 问 题

2 .1 预备知识及文献综述

2 .2 第二个非线性特征值的定义

2 .3 在μ1近共振情况下多解的存在性

2.4 μ∈(μk ,μk+i]的情况下解的存在性

2 .5 μ∈(μ1,μ'2 ]的情况下非平凡解的存在性

第 三 章 分 数 阶 椭 圆 方 程 近 共 振 问 题 解 的 存 在 性

3 .1 文献综述及预备知识

3 .1 .1 文献综述

3 .1 .2 预备知识

3 . 2 分数阶p-Laplacian方程关于主特征值近共振问题

3 .3 分数阶椭圆型方程关于非主特征值近共振问题

3 .3 .1 主要结论

3 .3 .2 定理3.4的证明

3 .3 .3 定理3.5的证明

第四章 p-Laplacian方程关于Fu(c)ík谱共振问题

4 . 1 算子-△p的Fu(c)ík谱的相关知识

4.2 p-Laplacian方程解的存在性

第 五 章 分 析 与 思 考

参考文献

攻 读 博 士 学 位 期 间 的 科 研 成 果

致谢