具有极值超Wiener指标的树状和链状多联苯系统

摘要

如果G是一个分子图并且u、v是它的两个点，那么u和v之间的距离就是包含u和v的最短路的长度（等于边数）如果用d(u，v)表示u和v之间的距离，那么Wiener number就可以定义为:(公式略)。
　　 多联苯的分子图（或者更确切的就，是代表碳原子的图）被称为”多联苯系统”。有关树状多联苯和链状多联苯的超Wiener指标的性质的文章还比较少，这篇论文就给出了树状多联苯和链状多联苯的超Wiener指标的一些性质。
　　 一个多联苯系统的特征图是将多联苯系统中的每个苯环收缩为单个的点构成的，当且仅当两个点所对应的苯环之间有一条边相连时这两个点是邻接的。一个多联苯系统H被称为是树状的，如果H的每一个顶点都位于一个苯环中，并且特征图是一个树。树状多联苯系统的一个苯环R至少有一个相邻的苯环；如果R只有一个相邻的苯环，那么它被称为是一个端苯环。文中的定理给出了树状多联苯系统超Wiener数指标的一些性质。
　　 设G是一个树状的多联苯，R是G上的一个苯环。如果R上至少有三个点的度不小于3或至少有一个点的度不小于4，那么我们就称R是G的一个有分支的苯环，而G\R就称为R的分支。
　　 设R是G的一个有分支的苯环。如果G的特征图为星图Sn且R的所有分支都接在R的一个点上，那么我们就称G是一个星状多联苯，记为Fn；如果进一步地把R中的苯环R收缩成一个点，那么这时得到的图就称为多联苯星，简记为F<'*><,n>。
　　 一个没有分支苯环的树状多联苯系统被称为是一个链状多联苯系统。显然，所有链状多联苯中的每一个多联苯链都有6h个顶点。令R是一个苯环。设u和v是R上的两个点。如果它们在R中相邻，则称它们是邻位的；如果u和v的距离为2，则称它们是间位的；如果u和v的距离为3，则称它们是对位的。在一个多联苯链内部的苯环R分别被称为是邻位苯环、间位苯环或者对位苯环，如果R中和连接另外两个苯环的两条边相关联的两个顶点分别位于邻位、间位或者对位。苯链是一个邻位多联苯链，如果它的内部苯环都是邻位苯环。间位多联苯链和对位多联苯链完全可以用类似的方式定义。令h是一个多联苯链中苯环的数目，我们分别用Oh,Mh和Lh来表示邻位多联苯链、间位多联苯链和对位多联苯链。有h个苯环的多联苯链可以记作G（h）。
　　 下面的定理刻画了在具有相同个数六边形的多联苯链中，取得最大超Wiener指标的多联苯链和取得极小超Wiener指标的多联苯链。
　　 Theorem5.1设巩是任一个具有n个苯环的树状多联苯系统，则：
　　 当n≥2时，有：WW(Fn)≤WW(Hn)≤WW(Ln)；
　　 当n≥3时，有：WW(Fn)

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具有极值超Wiener指标的树状和链状多联苯系统