积分方法与一维p-Laplacian边值问题的正解

摘要

本文考虑p—Laplacian边值问题{-(|u'|p-2u')'=λf(u)，t∈(0,1),u(0)=0,u(1)+αlim(t→1-0)u'(t)=0,(1.1)正解的存在性与不存在性，其中p>1，α≥0，且λ>0是一个正参数。本文的主要内容是利用积分方法，对f从正变到负的情形给出问题(1.1)正解的存在性和不存在性结论。我们假设：(A0)f：(0，+∞)→(-∞，+∞)连续，且存在μ*>0，使得 f(μ*)=0，当u∈(0，μ*)时，f(u)>0；当u∈(μ*，+∞)时，f(u)<0。(A1)当Tμ*<+∞时，存在0<ε<μ*，使得 f在(μ*-ε,μ*)上单调递减，其中Tμ*=∫μ*0(∫μ*u f(z)dz)-1/p du。为方便起见，在本文中以∧表示由下式定义的区间∧={(0,μ*),(Tμ*=+∞,(0,μ*],Tμ*<+∞,定义函数T(ω,r)=∫rω(∫ru f(z)dz)-1/p du,其中0≤ω≤r，r∈∧。当Tμ*<+∞时，记λ*α=p-1/p[T(0，μ*)+T(ω*α,μ*)]p，其中 ω*α∈[，μ*)由方程ω*α=α[T[0,μ*]+T(ω*α,μ*)][∫μ*ω*α f(z)dz]1/p.唯一确定。本文主要结论是：定理1.1设Tμ*=+∞，则(1)问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0，1]u(t)≥μ*的正解u.(2)当limz→0[f(z)/zp-1]=0时，存在λ1>0使得(2-I)对任意给定的λ>λ1，问题(1.1)存在两个正解u1，u2满足条件max u1(t)λ1，问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u；(2-iii)对任意给定的λ=λ1，问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u.(3)当limz→0[f(z)/zp-1]=c时，其中00使得(3-I)对任意给定的λ>λ1，问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u：(3-ii)对任意给定的λ>λ1，问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u.(4)当limz→0[f(z)/z9-]=+∞时，对任意给定的λ>0，问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u.定理1.2设Tμ*<+∞，则(1)问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0，1] u(t)>μ*的正解u.(2)对任意给定的λ<λ*α，问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0，1] u(t)>μ*的正解u.(3)对任意给定的λ≥λ*α，问题(1.1)存在唯一的满足条件maxt∈[0，1] u(t)=μ*的正解u。定理1.3设Tμ*+<+∞则(1)当limz→0[f(z)/zp-1]=0时，存在0<λ1≤λ*α三使得(1-I)对任意给定的λ>λ1，问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u：(1-ii)对任意给定的λ<λ1，问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u。(2)当limz→0[f(z)/zp-1]=c时，其中0λ2时，问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u;(2-ii)当λ1<λ<λ2时，问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u。(3)当limz→0[f(z)/zp-1]=+∞时，存在λ1≥λ*α>0使得(3-I)当λ>λ1时，问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u；(3-ii)当0<λ<λ1时，问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0，1] u(t)<μ*的正解u。