二阶微分方程组的特征值和正解的存在性

摘要

本文讨论了二阶微分方程组{[(p1(t)u')'+q1(t)u]=v，t∈(a,b),[(p2(t)v')'+q2(t)v]=f(t,u),t∈(a，b),α10u(a)+α11p1(a)u'(a)=0,β10u(b)+β11p1(b)u'(b)=0,α20v(a)+α21p2(a)v'(a)=0,β20v(b)+β21p2(b)v'(b)=0,(1.1)的正解存在性问题. 假设以下条件满足(A1) pi∈C1[a，b]，qi ∈ C[a，b]，并且对任给的t ∈ [a，b]，pi(t)>0，qi(t) ≤ 0，I=1，2。(A2) αi0≥ 0,αi1≤ 0，α2i0+α2i1>0，I=1，2.(A3)βi0≥0,βi1≥0,β2i0+β2i1>0，I=1，2.(A4) 齐次边值问题{[(pi(t)w')'+qi(t)w]=0，tβ(a，b),αi0w(a)+αi1pi(a)w'(a)=0,βi0w(b)+βi1pi(b)w'(b)=0,(1.2)没有非平凡解，I=1，2.(A5) f : [a，b]×[0,∞)→[0,∞)是非负连续函数。本文的主要结论是：定理1.1 若条件(A1){(A4)满足，则对特征值问题{[(p1(t)u')'+q1(t)u]=v，t ∈(a，b),[(p2(t)v')'+q2(t)v]=μu，t ∈(a，b),α10u(a)+α11p1(a)u'(a)=0,β0u(b)+β11p1(b)u'(b)=0,α20v(a)+α21p2(a)v'(a)=0,β20v(b)+β21p2(b)v0(b)=0:(1.3)存在唯一的μ*，使得当μ=μ*时，(1.3)存在正解(u，v)=(η，e)，即(μ，u，e)=(μ,η，e)是(1.3)的解，并且对任意的t ∈(a，b)，η(t)>0，e(t)>0:进一步，此时μ*=inf{(μ)>0，当μ=(μ)时，问题(1:3)存在非平凡解}>0.(1.4)定理1.2 若条件(A1)-(A5)满足，并且下列两条件之一满足:(j) f0<μ*μ*>f∞,其中f0=lim inf min u→0+t∈[a,b](f(t，u/u),f0=lim sup max u→0+t∈[a,b](f(t，u/u),f∞=lim inf min u→+∞ t∈[a,b](f(t，u/u),f∞=lim sup max u→+∞ t∈[a,b](f(t，u/u),那么边值问题(1:1)至少有一个正解。