小波数值方法及其在薄板结构非线性分析中的应用

摘要

圆薄板被应用于各类工程结构之中，尤其在航天航空器、储存罐、船舶、以及传感器中得到广泛使用，如飞机蒙皮、储存罐底、压力仪表中的弹性膜片等。这类结构由于刚度较小，在外界激励下极易产生大振幅的振动，严重影响着整个系统的有效性、服役安全、使用寿命和舒适性等，必须加以研究。然而由于其违背了线性理论的小变形假设，呈现出明显的非线性特征，即几何非线性，导致研究起来非常困难。典型的如圆薄板的大扰度弯曲问题，从基本方程的建立到给出其收敛解中间跨域了近一个世纪。而对于圆薄板的非线性振动问题，尤其是强非线性振动问题，目前依然缺乏非常有效的求解方法。
　　针对圆薄板的非线性振动问题，目前最常使用的是有限元方法。然而在其求解过程中，由于有限元方法无法实现时空完全解耦，即其刚度矩阵显式依赖于时间离散格式。这一方面增大了计算量，因为其刚度矩阵在每一时刻步均需更新。同时，由于时间积分过程中累积的误差，有可能导致结构刚度矩阵存在较大的偏差，进而致使长时间追踪结果失踪，甚至获得错误的近似解。
　　有鉴于此，本课题拟在本小组原有研究的基础之上，探索提出一套分析圆薄板结构非线性行为的高精度小波算法。本文主要内容有：(1)推导了任意平方可积函数在有限区间上（边界Lagrange延拓）基于广义Coiflets小波的逼近公式，对逼近公式在有限区间上的误差给予了证明，并给出了几类在利用小波伽辽金方法求解微分方程的过程中经常遇到的连接系数的推导过程及计算结果；(2)建立了针对中心弹性约束圆薄板大挠度问题的小波求解格式，通过和以往结果对比发现：用多项相乘连接系数离散微分方程所得结果的精度更高；(3)建立了针对圆薄板轴对称非线性振动问题的小波求解格式，并结合Newmark方法对其展开了定量研究，得到了诸如：中心挠度达到板厚2倍时自由振动周期减至线性振动周期65％；薄板中心响应振幅随激励力频率增大而减小等结论。

目录

声明

第一章 绪论

1.1 引言

1.2 小波数值方法

1.3 小波在梁、板结构的非线性分析中的应用

1.4 本文工作

第二章 小波分析方法基本理论

2.1多分辨率分析与广义Coiflets小波

2.2 任意函数f(x)∈L2(R)在区间[0,1]上的尺度函数逼近

2.3 数值求解微分方程中常见连接系数的计算

2.4 连接系数对微分方程数值求解精度的影响

2.5 本章小结

第三章 圆薄板大挠度问题

3.1 圆薄板中心弹性约束受轴对称荷载的平衡微分方程

3.2 无量纲化控制方程及小波求解

3.3 计算结果及讨论

3.4 本章小结

第四章 薄板轴对称非线性振动问题

4.1 圆薄板轴对称振动无量纲控制方程

4.2 数值算例

4.3 非线性自由振动

4.4 非线性强迫振动

4.5 本章小结

第五章 结束语

参考文献

附录A 三项相乘的连接系数

附录B 带积分项的连接系数

致谢