格子Boltzmann方法研究粘性流体中的空间反射时间反演联合对称性

摘要

在量子力学中，如果一个系统的哈密顿函数是厄米的，那么这个哈密顿矩阵的特征值是实数的，系统存在实能谱。1998年Bender首次证明如果非厄米哈密顿满足空间反射时间反演(parity time-reversal，PT)联合对称性，则这个非厄米的哈密顿系统同样存在实能谱。在过去的二、三年里，人们发现量子系统中PT对称在宏观系统中对应的是库和源的平衡(balanced sink and source)。通过引入跟库(sink)平衡的源(source)，原本趋于衰竭的宏观耗散系统能够达到一个持续平稳的运作，这一点在耦合光波导中得到应用，其中，光子在一端被吸收，在另一端被放大。类似的实验还有耦合电路传输以及耦合单摆系统。
　　本文采用格子Boltzmann方法(LBM)对流体的PT对称性进行研究。LBM方法是几十年前刚被科研工作者提出，快速发展起来的数值模拟计算办法，它在保证质量守恒和动量守恒的前提下，能够模拟满足流体力学中众多方程的一种介观模拟方法。这些方程中，我们最熟悉的包括连续性方程，Navier-Stokes方程等。LBM方法相对与传统的计算流体力学(CFD)具有算法及编程简单，节省计算机存储空间等优点。近期，其方便应用于Massively Parallel Processors的特性更体现该方法在处理复杂问题上的优越性。尤其是近几年发展起来了的GPU-LBM正是利用了格子Boltzmann方法易于并行计算的特点，提高了计算速度，使得湍流的等大尺度运算成为可能。促进了LBM的发展以及处理实际三维问题的精度和效率，使格子Boltzmann方法的使用范围更加广泛，对实际问题的解决更加有效。将PT对称性引入到流体系统，用格子玻尔兹曼方法求解Navier-Stokes(NS)方程，发现在二维粘性流体中，如果进口和出口的条件完全等同，在低雷诺数流动中，流场的PT对称函数(ρ)随雷诺数(Re)的增高以ρn～Ren指数增长。同时，与没有平衡出口的流体相比，平衡进出口的流场的PT对称度要高出多个数量级。在本项工作中，我们用三种不同的速度剖面来驱动流体，以速度、涡旋、和动能与雷诺数作为参量，计算流场达到稳定状态时的PT对称性，结果发现，进出口平衡的粘性流体中，ρn～Ren的规律在三种驱动模式中出现，表明流场的PT对称性是由流体本身的性质决定的，跟驱动模式没有关系，从此论证所得到的指数率的谱适性。研究了不同的对称几何构造的边界速度场，发现非对称尺度总是满足于雷诺数之间的幂指数关系。同时我们通过对比，证明了在低雷诺数下具有库源平衡构造的流体比传统的充分发展边界的流体非对称度要低多个数量级。最后文章初步研究了三维情况下的PT对称性，把三维情况下的结果和2维结果进行对比，得到幂指数关系仍然存在的结论，使本文结果更具说服性。

目录

摘要

1．绪论

1．1 流体力学的简介

1．2 数值模拟方法简述

1．3 格子Boltzmann方法的应用前景

1．4 全文概要

2．格子Boltzmann方法的基本理论

2．1 LBGK方程和DnQb模型

2．2 物理单位和格子单位间转化的问题

2．3 格子Boltzmann方法的边界处理方法

2．3．1 反弹边界

2．3．2 周期性边界

3．驱动模式对库源平衡的粘性流体中空间对称时间反演联合对称性影响的研究

3．1 应用背景以及研究现状

3．2 宏观方程

3．3 模型与公式

3．4 结果讨论

3．4．1 流场对称性随雷诺数增加的变化

3．4．2 PT非对称标度

3．5．结论

4．库源平衡的粘性流体中幂律缩放不对称性

4．1 库源平衡的几何构造及其PT对称性

4．2 粘性流体的PT非对称性

4．3 二维PT对称构造中流体的非对称性

4．3．1 非对称性的量化

4．3．2 库源平衡的出口边界和充分发展边界对比

4．3．3 二维模式下非对称性的出现

4．4 三维模式下幂指数规律的初步结果

4．5 讨论

5．总结和展望

参考文献

攻读学位期间取得的研究成果

致谢

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