具有双鞍焦点的三维分段线性系统的动力学研究

摘要

分段光滑动力系统是一类典型的非线性动力系统，而在分段光滑动力系统中，最常见的就是分段线性系统.分段线性系统不仅能恰当地描述很多自然物理现象，而且广泛应用于机械工程、控制、生物、电力电子、航天航空等领域.并且，这类系统存在着复杂的非线性现象，在一定条件下可出现混沌运动.因此，完善分段线性动力系统的理论，深入研究分段线性系统的内在运动机理和系统的动力学行为具有重要的理论和实际意义.近年来，关于分段线性系统的周期运动及其稳定性，极限环，分岔与混沌的研究一直是一项很重要的课题，学术界的研究者在各自的不懈努力下也取得了很大的进步，但到目前为止该课题领域仍然还有很多问题没有得到解决.
　　本文主要致力于研究具有双鞍焦点的分段线性动力系统，主要取得了如下几个创新成果.
　　(1)针对具有双鞍焦点的三维分段线性系统，从理论上严格分析了该类系统同宿轨、异宿环的存在性条件，获得了相应的判定定理.在此基础上，运用Shilnikov定理严格证明了此类系统混沌的存在性.
　　(2)针对具有双鞍焦点的三维分段线性系统，通过构造Poincare映射从理论上推导出了该类系统存在周期轨的一般条件.
　　(3)将前面得到的理论方法和思想运用于一个修正的Lorenz系统，通过理论分析得到了该系统在不同参数条件下的同宿环，异宿环，周期轨以及混沌的存在结果.最后借用计算机计算Lyapunov指数，数值模拟验证了理论分析的准确性。

目录

摘要

第一章 前言

1．1．1 分段线性系统的研究意义

1．1．2 分段线性系统的发展历史和研究现状

1．2 本文的主要工作及安排

第二章 预备知识

2．2 Lyapunov指数和混沌

2．3 Poincare映射

2．4 三维分段线性系统

第三章 具有双鞍焦点三维分段线性系统的同宿异宿轨分析

3．1 平衡点及其稳定和不稳定流形

3．2 同宿轨及异宿轨的存在性

3．2．1 异宿环存在性判定

3．2．2 同宿轨存在性判定

第四章 具有双鞍焦点的三维分段线性系统周期轨分析

4．1 子系统的通解

4．2 周期轨分析

第五章 应用实例——修正Lorenz系统

5．1 修正Lorenz系统

5．2 同宿轨异宿轨

5．3 Lyapunov指数

5．4 周期轨分析

5．4．1 纯虚根情况下周期轨分析

5．3．2 鞍焦点情况下周期轨分析

参考文献

攻读学位期间取得的研究成果

致谢

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