分数阶约束力学系统的Noether对称性和Lie对称性理论研究

摘要

本文首次引用Lie群分析方法研究分数阶约束力学系统的Noether对称性和Lie对称性理论,建立了分数阶的非保守Lagrange系统的Noether对称性与Lie对称性理论,建立了分数阶Hamilton系统的Noether对称性与Lie对称性理论.本文的工作归结为以下几个方面:
　　 第一,建立了完整保守系统的分数阶Euler-Lagrange方程.引用保守系统的分数阶Hamilton原理,结合分数阶算子和等时变分的交换关系,推导出完整保守系统的分数阶Euler-Lagrangc方程.这个结论和Agrawal所得的结论一致.
　　 第二,建立了非保守系统的分数阶Euler-Lagrange方程和分数阶Hamilton正则方程。引用非保守系统的分数阶Hamilton原理,求得非保守系统的分数阶Euler-Lagrange方程.在此基础上,推导出该系统的分数阶Hamilton正则方程.
　　 第三,建立了非完整系统的分数阶Euler-Lagrange方程.引入Apell-Chetaev型非完整约束条件和拉格朗日乘子,应用分数阶d'Alembert-Lagrange原理推导出非完整系统的分数阶Euler-Lagrange方程.
　　 第四,建立了分数阶非保守Lagrangc系统的Noether对称性理论.基于分数阶非保守Lagrange系统的Hamilton作用量泛函在无限小变换下的不变性,结合分数阶Hamilton作用量的变分公式,给出分数阶Noether对称变换的定义和判据;然后得到分数阶非保守Lagrange系统的Noether定理以及相应的守恒量.
　　 第五,建立了分数阶Hamilton系统的Noether对称性理论.基于分数阶Hamilton系统的Hamilton作用量泛函在无限小变换下的不变性,依据分数阶Hamilton作用量的变分公式;给出分数阶Noether对称变换的定义和判据;之后得到分数阶Hamilton系统的Noether定理和相应的守恒量.
　　 第六,建立了分数阶非保守Lagrange系统的Lie对称性理论.基于系统的Lie对称性是微分方程在无限小变换下的不变性,通过引入无限小生成元向量,得到该系统的确定方程;给出分数阶Lie对称变换的定义,继而得到分数阶非保守Lagrange系统的Lie对称性导致的守恒量.
　　 第七,建立了分数阶Hamilton系统的Lie对称性理论.引入无限小生成元向量,基于Lie对称性的思想得到该系统的确定方程;给出分数阶Hamilton系统Lie对称变换的定义,得到分数阶Hamilton系统的Lie对称性导致的守恒量.
　　 最后,总结本文的主要研究成果并展望未来研究的若干方向.