平面系统退化奇点的单值性问题研究

摘要

在平面解析微分系统的定性理论研究中，如何确定系统的某个孤立奇点是否为焦点-中心类型，以及当确定孤立奇点是焦点-中心类型后，进一步确定何时是焦点，何时是中心是两个尚未解决的经典问题，其中常把焦点-中心型问题称为单值性问题，这些与希尔伯特第十六问题的解决有密切的联系。
　　 本文主要是围绕着一类平面系统退化奇点的单值性问题进行了研究，这类系统是由两个齐次多项式和组成的特殊系统类。在平面解析微分系统的奇点单值性研究中，当系统的线性部分不全为零时，目前已经有了比较完整的结果，而当系统的线性部分全为零时，到目前为止，结果还很少，有待深入研究。有人曾研究过强加了限制条件比较强的两个齐次多项式和的特殊系统类，利用blow-up技术给出了系统奇点为焦点-中心型的一个充分必要条件，并且给出了该奇点返回映射的首项表达式。本文所做的工作主要在该系统类的基础之上，利用blow-up技术和奇点的分类定理研究了更广泛的系统类，解决了该类系统奇点的单值性问题，同样也给出了一个充分必要条件来判断该类系统的奇点是否是单值性的。最后用一个实例表明我们所研究的系统类的确是从本质上进行了推广。
　　 本文的结论虽然是从本质上推广了这类系统的结果，但是本文所讨论的平面系统还仅仅是相对比较简单的一类解析系统，并且对于这类系统，我们尚未给出一般性的结论。本文对系统所加的限制条件虽有所放宽，利用本文的结果判断奇点单值性的系统类也有所扩充，但是文中给出的结果还是有限的。对于不满足本文中限制条件的退化系统来说，本文所给出的判断其孤立奇点是单值性的充分必要条件将不再适用，这些问题还需进一步深入研究。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 论文的背景

1．2 论文的研宄意义

1．3 国内外的研究现状

1．4 论文的结构安排

第二章 预备知识

2．1 中心焦点的相关定义

2．2 奇点的分类定理

2．3 blow-up技术与奇点的打开

2．3．1 blow-up技术

2．3．2 奇点的打开和Lojasiewicz性质

第三章 一类平面系统单值奇点的特征

3．1 引言

3．2 主要结果及其证明

3．3 实例

3．4 讨论

第四章 总结与展望

参考文献

攻读学位期间的研究成果

致谢