广义条件对称和Painlevé分析的若干研究

摘要

非线性偏微分方程和可积系统是应用数学和数学物理研究中的重要内容，其应用甚是广泛，是交叉学科的研究热点。 本文主要研究带源项扩散方程的广义条件对称和多分量(2+1)维Sasa-Satsuma(MSS)方程的Painlevé性质及其精确解。带源项扩散方程在物理、扩散过程和工程方面有比较广泛的应用，可以用来描述很多现象，如等离子体的电子的热传导现象、完全电离气体辐射的热传导现象以及湍流扩散现象等等。MSS方程是标准Sasa-Satsuma方程的推广，后者可以被用来描述光纤中超短脉冲的传播等现象。因此对以上两个方程的研究非常有意义。广义条件对称法在寻求非线性偏微分方程的具有特殊意义的精确解过程中具有重大作用。该方法得到的这些精确解一般不能由单纯的李点对称等得到，因而该方法具有一定的研究价值。方程能否通过Painlevé测试是判断方程完全可积的一个重要条件。我们还可以通过Painlevé测试得到B(a)cklund变换、精确解、Darboux变换以及Lax对等，所以对于方程的Painlevé性质的分析也比较有意义。 本文首先简单介绍了非线性偏微分方程和可积系统，以及广义条件对称和Painlevé分析的研究背景与现状。接着研究了带源项扩散方程ut=e-qx(e-pxP(u)unx)x+Q(x，u)的广义条件对称，将其对称分类，得到的分类方程可约化为动力系统或可精确求解。最后利用WTC方法研究MSS方程的Painlevé性质，对其Laurent级数展开式进行截断，构造相应的精确解，并得到了新的相干结构。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 非线性偏微分方程和可积系统简单概述

1．2 本文研究背景及现状

1．2．1 广义条件对称

1．2．2 Painlevé分析

1．3 本文研究的主要内容

第二章 扩散方程的广义条件对称约化及精确求解

2．1 基本概念、命题及定理

2．2 方程(2-7)的广义条件对称以及对应的不变子空间

2．3 方程(2-1)的约化及例子

第三章 MSS方程的Painlevé性质及精确解

3．1 MSS方程的Painlevé分析

3．2 MSS方程的精确求解

第四章 总结与展望

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文